证明：若连续函数f:ℝ→ℝ在稠密子集S⊆ℝ上恒为0，则f(x)=0对所有x∈ℝ成立

这个问题其实是连续函数与稠密子集性质的经典结合，咱们用两种常用方法来证明，保证逻辑严谨又好理解：

首先明确两个核心定义：

• 稠密子集：若S⊆ℝ是稠密的，意味着任意实数x∈ℝ都能被S中的序列逼近——具体来说，对任意x∈ℝ，我们可以取εₙ=1/n（n=1,2,3,...），根据稠密性，总能找到sₙ∈S满足|sₙ - x| < 1/n，当n→∞时，这个序列{sₙ}就收敛到x。
• 连续函数的序列性质：函数f在x处连续的充要条件是，对任何收敛到x的序列{xₙ}，都有limₙ→∞ f(xₙ) = f(x)。

接下来正式推导：

1. 任取一个任意实数x∈ℝ，根据S的稠密性，存在序列{sₙ}⊆S，使得limₙ→∞ sₙ = x。
2. 因为每个sₙ都属于S，题设告诉我们f(sₙ)=0，所以序列{f(sₙ)}是恒为0的常序列，它的极限自然是0。
3. 又因为f是连续函数，根据上面的序列性质，limₙ→∞ f(sₙ) = f(x)。
4. 由此直接得出f(x)=0。
5. 由于x是任意选取的实数，因此对所有x∈ℝ，f(x)=0。

如果更习惯用连续性的原始ε-δ定义来证，也很清晰：

1. 任取x∈ℝ，任取一个正数ε>0。
2. 因为f在x处连续，根据ε-δ定义，存在一个δ>0，只要|y - x| < δ，就有|f(y) - f(x)| < ε。
3. 又因为S是ℝ的稠密子集，所以必然存在某个s∈S满足|s - x| < δ（稠密性的核心就是任意开区间里都有S的元素）。
4. 而根据题设，f(s)=0，把它代入上面的不等式：|0 - f(x)| < ε，也就是|f(x)| < ε。
5. 这里的ε是任意正数，如果|f(x)|是一个大于0的固定值，比如|f(x)|=a>0，那我们取ε=a/2就会导致矛盾（a < a/2显然不成立）。因此只能是f(x)=0。
6. 同样，x是任意实数，所以整个ℝ上f(x)都等于0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brooke