如何将置换(142536)表示为S₆中(13456)与(132)的乘积串？

当你需要将一个置换α表示为群G的生成元r、s的交替乘积（即α=r^{m1}s{m2}r^{m3}s{m4}…）时，有两种最实用的手动方法，下面详细说明：

1. 逆向化简法（左乘生成元逆元） #

这是最系统的手动方法，核心思路是通过不断左乘r或s的逆元，逐步将α化简为单位元，最后将步骤逆序即可得到α的乘积表达式：

• 步骤1：写出目标置换α的完整映射（比如α(x)对所有x∈{1,2,…,n}的结果）。
• 步骤2：选择一个未被映射到自身的元素x，找到生成元的某个幂次g（r^k或sk），使得g^{-1}α(x)=x（也就是g(x)=α(x)）。
• 步骤3：左乘g^{{-1}到α上，得到新的置换α₁=g}{-1}α，此时α₁(x)=x（x被“固定”）。
• 步骤4：重复步骤2-3，直到α被化简为单位元e。
• 步骤5：将所有左乘的逆元逆序排列，就是α的乘积表达式：比如你依次左乘了g₁^{-1},g₂{-1},…,gk^{-1}得到e，则α=g₁g₂…gk。

注意：置换的复合顺序是右结合，即α=AB意味着先应用B，再应用A，所以左乘逆元的顺序要反过来才是α的正向乘积。

2. 正向贪婪构建法 #

从单位元出发，逐步构建乘积，每一步选择r或s的幂次，让当前乘积的作用尽可能匹配α的映射：

• 步骤1：初始化当前乘积P=e（单位元），记录已匹配的元素集合S=∅。
• 步骤2：选择一个未匹配的元素x∉S，看P(x)与α(x)的差异，找到生成元的幂次g（r^k或sk），使得P(g(x))=α(x)（也就是g(x)=P^{-1}(α(x))）。
• 步骤3：更新当前乘积P=P*g，将x和所有被g映射到已匹配集合的元素加入S。
• 步骤4：重复步骤2-3，直到所有元素都被匹配（S包含所有元素），此时P=α。

3. 辅助技巧：利用共轭与关系 #

如果生成元之间有已知的关系（比如r^k=e、sm=e、srs^{-1}=rt等），可以利用这些关系简化乘积：

• 共轭操作：g h g^{-1}可以将置换h的循环结构转移，帮助生成需要的循环。
• 幂次化简：利用生成元的阶（比如r的阶是5，所以r^5=e，rk=r^{k mod 5}）减少指数的大小。

对于你给出的具体例子（r=(1 3 4 5 6)、s=(1 3 2)、α=(1 4 2 5 3 6)），用逆向化简法可以逐步推导：

1. 左乘r³（r的逆的2次幂），将α的1→4修正为1→1，得到α₁=r³α=(2 3 4)(5 6)。
2. 左乘s，将α₁的2→3修正为2→2，得到α₂=sα₁=(1 3 4)(5 6)。
3. 左乘r⁴（r的逆），将α₂的1→3修正为1→1，得到α₃=r⁴α₂=(4 6)。
4. 最后将(4 6)表示为r和s的乘积：利用共轭和生成元关系，可继续通过逆向法化简得到对应的幂次组合。
5. 逆序所有左乘的逆元，再合并同类项，就能得到α的交替乘积形式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者KON3