生成函数与雅可比定理：四奇平方和表示数等式证明求助

云上老周

2026-5-19

首先，我们从题目给出的生成函数入手，逐步建立它们和目标表示数$R(n)$的关联：

$G(z)$的作用：$G(z)=\sum_{k=0}^{\infty} z^{(2k+1)2}$是单个正奇数平方的生成函数——每一项$z^{(2k+1)2}$对应奇数$2k+1$的平方。那么$G(z)^{4$就是**四个正奇数平方和**的生成函数，其展开式中$z}n$的系数恰好就是题目中的$R(n)$（即$n$表示为四个正奇数平方和的有序解数，考虑顺序差异，比如$1²⁺¹2+1²⁺³2$和$1²⁺¹2+3²⁺¹2$算两种不同表示）。
$F(z)$的展开变形：把$F(z)$的分母用几何级数展开（$\frac{1}{1-x}=\sum_{t=0}^{\infty}xt$）：
$$
F(z)=\sum_{k=0}^{{\infty}(2k+1)z}{2k+1}\sum_{t=0}^{\infty}z{2t(2k+1)}=\sum_{k,t\geq0}(2k+1)z^{(2k+1)(2t+1)}
$$
这里$(2k+1)(2t+1)$遍历所有奇正整数（奇数乘奇数还是奇数）。对于任意奇正整数$m$，它可以分解为两个奇数的乘积，每个奇因数$d|m$对应一项$(2k+1)=d$，因此$z^m$的系数就是$m$的所有正因数之和$\sigma(m)$。最终$F(z)$可以简化为：
$$
F(z)=\sum_{m \text{ 奇正整数}} \sigma(m)z^m
$$

每个奇数平方模4余1，四个奇数平方和模4余$1+1+1+1=0$，因此当$n$不是4的倍数时，$R(n)=0$。
设$n=4m$，展开四个奇数平方和：
$$
(2a+1)^2+(2b+1)2+(2c+1)^2+(2d+1)2=4(a^2+a+b2+b+c^2+c+d2+d)+4
$$
两边除以4得$m=a^2+a+b2+b+c^2+c+d2+d+1$。由于$a^2+a=a(a+1)$是偶数，四个偶数之和加1必为奇数，因此当$m=n/4$不是奇数时，$R(n)=0$。

先改写$G(z)$：$(2k+1)^2=4k(k+1)+1$，因此：
$$
G(z)=\sum_{k=0}^{\infty}z{4k(k+1)+1}=z\sum_{k=0}^{\infty}(z4)^{k(k+1)}
$$
那么$G(z)^4=z4\left(\sum_{k=0}^{\infty}(z4)^{{k(k+1)}\right)}4$，其展开式中只有$z^{4m}$（$m$为奇数）的项非零。
对比$F(z^4)$：$F(z4)=\sum_{m \text{ 奇正整数}} \sigma(m)z^{{4m}$，这和$G(z)}4$的展开式完全一致——$z^{4m}$的系数就是$\sigma(m)$，对应$R(4m)=\sigma(m)$。

综上，我们得到结论：当$n/4$为奇正整数时，$R(n)=\sigma(n/4)$；其他情况$R(n)=0$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mathstudent007