如何理解商环$R=\frac{\mathbb{R}[x,y]}{(y+x^2)\cap(y-x^2-1)}$？

首先，先确认你提到的两个多项式的不可约性：

• $y+x^2$和$y-x2-1$确实都是$\mathbb{R}[x,y]$中的不可约多项式。因为它们可以看作关于$y$的一次多项式，一次项系数是1（$\mathbb{R}[x]$中的单位），而一次多项式在多项式环里必然不可约，这个判断是对的。

接下来分析交理想和商环结构：

1. 交理想的简化
   在$\mathbb{R}[x,y]$这种唯一分解整环（UFD）里，两个互素元素生成的理想的交，等于它们的乘积理想。这里$y+x^2$和$y-x2-1$是互素的——它们的差是$2x^{2+1$，而$2x}2+1$无法整除其中任何一个多项式（比如代入$x^{2=-1/2$，$y+x}2=y-1/2$，显然不是零多项式），所以它们的最大公因式是1。因此：
   $$(y+x^2)\cap(y-x2-1)=((y+x^2)(y-x2-1))$$
   商环可以简化为$R=\mathbb{R}[x,y]/((y+x^2)(y-x2-1))$。

2. 是否同构于$\boldsymbol{\mathbb{R}[s]\times\mathbb{R}[t]}$？答案是否定的
   环的直积$\mathbb{R}[s]\times\mathbb{R}[t]$里存在像$(1,0)$这样的元素：它在第一个分量是1，第二个分量是0。但在商环$R$里，找不到对应的元素。我们可以用反证法说明：
   假设存在$\overline{f}\in R$，使得$\overline{f}$在$\mathbb{R}[x,y]/(y+x^{2)$中对应1，在$\mathbb{R}[x,y]/(y-x}2-1)$中对应0。这意味着$f(x,y)$满足：

   • $f(x,-x^{2)=1$（模$(y+x}2)$等价于1）
   • $f(x,x^{2+1)=0$（模$(y-x}2-1)$等价于0）
     由第二个条件，$f(x,y)$必然是$(y-x^{2-1)$的倍数，即$f=(y-x}2-1)\cdot k(x,y)$，其中$k$是$\mathbb{R}[x,y]$中的多项式。代入第一个条件：
     $$(-x^2 -x^2 -1)\cdot k(x,-x^2)=(-2x2-1)\cdot k(x,-x^2)=1$$
     但$k(x,-x^{2)$是$\mathbb{R}[x]$中的多项式，而$2x}2+1$是$\mathbb{R}[x]$中的不可约多项式（不是单位），不可能存在多项式$k(x,-x^{2)$使得它和$-2x}2-1$的乘积是1——这显然矛盾。

   另外，我们也可以通过映射的像来理解：定义映射$\phi: R\to\mathbb{R}[x]\times\mathbb{R}[x]$，$\phi(\overline{f})=(f(x,-x^2),f(x,x2+1))$，这个映射的核就是交理想，所以$R$同构于$\phi$的像。而这个像并不是整个直积，而是满足$a(x)\equiv b(x)\pmod{2x^{2+1}$的元素对$(a(x),b(x))$——因为当$x}2=-1/2$时，两条曲线$y=-x^2$和$y=x2+1$在$y=1/2$处“重合”（在模$2x^2+1$的意义下），所以$a(x)$和$b(x)$在这个模下必须相等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J. Moeller