Ross《概率模型导论》11版174页第63题：i型优惠券恰好1张的概率求解

嘿，咱们来拆解这个经典的优惠券收集问题——有n种优惠券，每次随机拿一种，直到集齐所有类型，求最终收集的优惠券里恰好有1张i型的概率。提示说要基于已收集的类型数量T来条件分析，咱们一步步来捋清楚：

核心思路：条件概率+对称性简化 #

首先，定义事件A为「最终收集的优惠券中恰好有1张i型」。我们可以通过首次拿到i型优惠券时已收集的非i型种类数来做条件分析，结合对称性和递归推导，就能得到简洁的结果。

步骤1：利用对称性简化首次拿i型的概率

由于所有优惠券类型是对称的，i型作为第(k+1)个被首次收集到的类型（k=0,1,...,n-1）的概率是相等的，都是1/n。换句话说：

• 首次拿到i型时，已经收集了0种非i型的概率是1/n（第一次就拿到i）；
• 首次拿到i型时，已经收集了1种非i型的概率是1/n；
• ...
• 首次拿到i型时，已经收集了n-1种非i型的概率是1/n（此时已经集齐所有非i型，拿到i就完成收集）。

步骤2：计算每种条件下事件A发生的概率

接下来，对每种k（首次拿i型时已收集k种非i型），计算在该条件下A发生的概率P(A|k)：

1. 当k=n-1时：此时拿到i型时已经集齐了所有非i型，收集过程立刻停止，i型只有1张，完全符合事件A，所以P(A|k)=1。
2. 当k=0到n-2时：拿到i型后，我们还需要收集剩下的(n-1-k)种非i型，且期间不能再拿到i型（否则i型数量就超过1了）。通过递归推导可以得出，这个概率等于1/(n-k)——简单来说，就是在每次选择中，优先集齐剩余非i型而不拿到i型的概率。

步骤3：全概率公式求和

把上面的结果代入全概率公式：

P(A) = Σ（k=0到n-1）[P(首次拿i型时已有k种非i型) × P(A|k)]

代入已知的概率值：

• 前n-1项（k=0到n-2）的和为 (1/n) × (1/n + 1/(n-1) + ... + 1/2)
• 最后一项（k=n-1）为 (1/n) × 1

把这些项合并，注意到调和数Hₙ=1+1/2+1/3+...+1/n，那么前n-1项的和是(1/n)×(Hₙ -1)，加上最后一项的(1/n)×1，最终得到：

P(A) = Hₙ / n

其中Hₙ是第n个调和数。

验证小例子 #

• 当n=2时，H₂=1+1/2=3/2，P(A)=3/2 ÷2=3/4，和我们手动计算的结果一致；
• 当n=3时，H₃=1+1/2+1/3=11/6，P(A)=11/6 ÷3=11/18，符合逻辑推导。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者evergreenhomeland