无限基数下两类基数构成真类的证明技术问询

我来一步步梳理这个关于无限基数下两类基数都是真类的证明思路：

首先，给定无限基数$k$，类$A = {\lambda \in Card \mid \lambda^k = \lambda}$。我们用序数函数的不动点来推导：

1. 定义函数$F: Ord \to Ord$为$F(\alpha) = |\alpha|^k$，这个函数有两个关键性质：

   • 递增性：若$\alpha < \beta$，则$|\alpha| \leq |\beta|$，因此$|\alpha|^k \leq |\beta|^k$，即$F(\alpha) \leq F(\beta)$；
   • 连续性：对极限序数$\delta$，$F(\delta) = |\delta|^k = (\sup_{\alpha < \delta} |\alpha|)^k = \sup_{\alpha < \delta} |\alpha|^k = \sup_{\alpha < \delta} F(\alpha)$，满足连续条件。

2. 根据序数不动点定理，连续递增的序数函数存在任意大的不动点，也就是对任意序数$\alpha$，总能找到$\beta > \alpha$使得$F(\beta) = \beta$。这些不动点对应的基数$|\beta|$满足$|\beta|^k = |\beta|$，即$|\beta| \in A$。

3. 反证法假设$A$是集合：
   若$A$是集合，则$\bigcup A = \gamma$是一个基数（基数的集合的并仍是基数，且是大于所有$A$中元素的最小基数）。但根据不动点定理，存在基数$\lambda > \gamma$使得$\lambda^k = \lambda$，即$\lambda \in A$，这与$\gamma = \bigcup A$是$A$中所有元素的上界矛盾。因此$A$不可能是集合，只能是真类。

类$B = {\lambda \in Card \mid \lambda^k > \lambda}$，我们利用Konig定理来构造任意大的$B$中元素：

1. Konig定理指出：对任意无限基数$\lambda$，$\lambda^{\cf(\lambda)} > \lambda$，其中$\cf(\lambda)$是$\lambda$的共尾度（即能共尾到$\lambda$的最小序数的基数）。

2. 反证法假设$B$是集合：
   若$B$是集合，则$\bigcup B = \gamma$是一个基数。现在我们构造一个大于$\gamma$的基数$\lambda$属于$B$：
   取序数$\delta = \gamma + k$（这里的加法是序数加法），令$\lambda = \aleph_\delta$（即第$\delta$个无限基数）。由于$\delta$是$\gamma$与$k$的序数和，且$k$是无限基数，$\delta$是极限序数，因此$\cf(\delta) = k$，进而$\cf(\lambda) = \cf(\delta) = k$。
   根据Konig定理，$\lambda^k \geq \lambda^{\cf(\lambda)} > \lambda$，即$\lambda \in B$，且$\lambda = \aleph_\delta > \aleph_\gamma \geq \gamma$，这与$\gamma = \bigcup B$是$B$中所有元素的上界矛盾。因此$B$也不可能是集合，只能是真类。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者M.B.