球极投影坐标推导问询：求投影点P'与球面点P的坐标关系

你之前只用到了XY平面内的斜率相等 y/x = (Y-y)/(X-x)，这只利用了三点共线在xy平面的投影关系，忽略了三维空间中z坐标的约束，也没结合球面方程，所以没法推导出完整的转换公式。我们先明确投影的核心设定，再一步步推导：

核心设定（匹配你给出的公式场景） #

• 球面：半径为 a，球心在原点 (0,0,0)，方程为 x² + y² + z² = a²
• 投影中心：球面的北极点 N(0,0,a)（该点无法投影到平面上，对应无穷远点）
• 投影平面：z=0 的XY平面，投影点 P'(X,Y) 的三维坐标为 (X,Y,0)
• 关键条件：N、P(x,y,z)、P'(X,Y,0) 三点共线

第一步：利用三点共线建立全维度等式 #

三点共线意味着向量$\overrightarrow{NP}$与$\overrightarrow{NP'}$成比例，即存在实数$k$，使得：

x = k·X
y = k·Y
z - a = k·(-a)

从第三个等式解出$k$：

z - a = -k·a → k = (a - z)/a

第二步：推导球面点→投影点的公式（P→P'） #

把$k=(a-z)/a$代入前两个等式，解$X$和$Y$：

x = [(a-z)/a]·X → X = (a·x)/(a-z)
y = [(a-z)/a]·Y → Y = (a·y)/(a-z)

你给出的公式里有个系数2，这通常是因为投影平面或球面的设定不同（比如将球面设为单位球面$a=1$并缩放投影结果，或投影中心设为$(0,0,-a)$），但核心推导逻辑一致——必须结合三维共线的z轴条件。

第三步：推导投影点→球面点的公式（P'→P） #

我们已经有$x=kX$、$y=kY$、$z=a(1-k)$，且$P(x,y,z)$在球面上，代入球面方程：

(kX)² + (kY)² + [a(1-k)]² = a²

展开并整理：

k²(X²+Y²) + a²(1-2k+k²) = a²
k²(X²+Y²+a²) - 2a²k = 0

排除$k=0$（对应北极点$N$），解出$k$：

k = 2a²/(X²+Y²+a²)

将$k$代入$x$、$y$、$z$的表达式：

x = 2aX/(X²+Y²+a²)
y = 2aY/(X²+Y²+a²)
z = a(X²+Y² - a²)/(X²+Y²+a²)

这就是你给出的投影点转球面点公式的完整形式。

为什么之前的斜率法不行？ #

你用的y/x=(Y-y)/(X-x)其实是三维共线在xy平面的投影推导结果，但这个等式本身无法建立x,y,z与X,Y的直接联系——它只是共线的必要条件，而非充分条件。必须结合z坐标的共线关系，再代入球面方程，才能解出完整的转换公式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者BAYMAX