超实数的基是什么？其作为实数域上向量空间的基是什么？

嘿，这个问题挺有意思的，咱们先把两个问题分开来聊，先澄清“基”在不同语境下的含义，再一步步解答～

第一个问题：超实数的“基”是什么？ #

首先得明确：你这里的“基”可能对应不同的数学概念，得看讨论的结构：

• 如果是指集合的基数（也就是集合的大小）：标准构造下（用自然数集$\mathbb{N}$上的非主超滤生成超实数域${}^{*\mathbb{R}$），超实数的基数是$2}{\aleph_0}$——和实数集$\mathbb{R}$的基数一样。这是因为超实数是从$\mathbb{R}^{\mathbb{N}$（所有从$\mathbb{N}$到$\mathbb{R}$的函数构成的集合）模掉超滤等价关系得到的，$\mathbb{R}}\mathbb{N}$的基数本身就是$2^{{\aleph_0}$，模等价关系后不会增加基数，同时超实数包含所有实数，所以最终基数等于$2}{\aleph_0}$。

• 如果是指拓扑基（超实数作为拓扑空间的开集基）：超实数带有序拓扑（由全序关系诱导的拓扑），它的拓扑基就是所有形如$(a,b)$的开区间，其中$a,b\in{}^*\mathbb{R}$——和实数的拓扑基形式类似，只是端点可以是任意超实数（包括无穷小、无穷大量）。

第二个问题：超实数作为$\mathbb{R}$上的向量空间，它的基是什么？ #

这个问题更有意思！首先明确：${}^*\mathbb{R}$作为实数域$\mathbb{R}$上的向量空间，是不可数无限维的。

关键事实： #

1. 这个向量空间的维数为$2^{{\aleph_0}$（对应标准构造的超实数），也就是说它的基包含$2}{\aleph_0}$个线性无关的元素。
2. 遗憾的是，我们无法显式写出这个基的所有元素——因为构造这样的基必须依赖选择公理，而选择公理只能保证基的存在性，没法给出具体的、可枚举的基元素。

可以列举一些线性无关的元素类，帮你理解基的构成： #

• 首先，所有实数本身（对应超实数里的常数列等价类）构成一个一维子空间，但显然远远不够。
• 无穷小量：比如$\epsilon = [(1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...)]$（代表正无穷小），$\epsilon^2 = [(1, 1/4, 1/9, ..., 1/n^2, ...)]$，$\sqrt{\epsilon} = [(1, 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{3}, ..., 1/\sqrt{n}, ...)]$——这些元素和实数线性无关，因为你没法用实数的线性组合得到非零无穷小。
• 无穷大量：比如$\omega = [(1, 2, 3, ..., n, ...)]$（代表正无穷大），$\omega^2 = [(1, 4, 9, ..., n^2, ...)]$，$\log\omega = [(0, \log2, \log3, ..., \log n, ...)]$——这些元素也和实数、无穷小量线性无关。
• 振荡型超实数：比如$[\sin n] = [(\sin1, \sin2, \sin3, ..., \sin n, ...)]$，这个元素既不是有限超实数也不是无穷大，而是在$-1$到$1$之间振荡，它也和前面的所有元素线性无关。

补充：有趣的子空间 #

你提到的有限超实数子空间${}^*\mathbb{R}_{\text{fin}}$（所有可表示为“实数+无穷小”的超实数），它是$\mathbb{R}$上的向量空间，可分解为$\mathbb{R} \oplus \mu$，其中$\mu$是无穷小量构成的子空间。这个子空间的基可以看作是实数的基加上$\mu$的基，而$\mu$本身也是无限维的$\mathbb{R}$向量空间。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Christopher King