如何将置换(1 2 3 4 5 6 7)表示为非必不相交的3-循环乘积？

首先得明确一个关键约定：我们采用群论中最常用的函数复合顺序计算置换乘积，也就是(σ τ)(x) = σ(τ(x))——意思是先应用右边的置换τ，再应用左边的置换σ。这个顺序搞清楚了，分解就不容易出错。

方法一：拆成对换后组合成3-循环 #

任何n-循环都可以先分解为(n-1)个对换的乘积（函数复合顺序下）：

(1 2 3 4 5 6 7) = (1 7)(1 6)(1 5)(1 4)(1 3)(1 2)

简单验证下：比如元素3，先经过最右边的(1 2)不变，再(1 3)变成1，之后的(1 4)(1 5)(1 6)(1 7)里，只有(1 4)会把1变成4，后续对换对4无影响，最终3→4，和原置换一致，没问题。

接下来，相邻的两个对换可以组合成一个3-循环，核心等式是：(1 b)(1 a) = (1 a b)（函数复合顺序下）。比如(1 3)(1 2) = (1 2 3)，你可以自己核对：先(1 2)把1→2、2→1，再(1 3)把1→3、3→1，最终结果就是1→2、2→3、3→1，正好是3-循环(1 2 3)。

把刚才的6个对换两两分组：

(1 7)(1 6)(1 5)(1 4)(1 3)(1 2) = [(1 7)(1 6)] [(1 5)(1 4)] [(1 3)(1 2)]

替换成3-循环后就得到：

(1 2 3 4 5 6 7) = (1 6 7)(1 4 5)(1 2 3)

验证结果：

• 元素1：先执行(1 2 3)→2，再(1 4 5)→2，再(1 6 7)→2 → 1→2（正确）
• 元素3：先(1 2 3)→1，再(1 4 5)→4，再(1 6 7)→4 →3→4（正确）
• 元素5：先(1 2 3)→5，再(1 4 5)→1，再(1 6 7)→6 →5→6（正确）
• 元素7：先(1 2 3)→7，再(1 4 5)→7，再(1 6 7)→1 →7→1（正确）
  所有元素的映射都和原置换一致，完全成立。

方法二：递推分解长循环 #

另一种更直观的思路是逐步把长循环拆成一个3-循环加一个更短的循环，直到全部变成3-循环：

1. 首先，(1 2 3 4 5 6 7) = (1 2 3)(1 3 4 5 6 7)
2. 对短循环重复操作：(1 3 4 5 6 7) = (1 3 4)(1 4 5 6 7)
3. 继续拆分：(1 4 5 6 7) = (1 4 5)(1 5 6 7)
4. 最后一步：(1 5 6 7) = (1 5 6)(1 6 7)

把这些代入回去，最终得到：

(1 2 3 4 5 6 7) = (1 2 3)(1 3 4)(1 4 5)(1 5 6)(1 6 7)

这个分解同样可以逐一验证，每一步的短循环拆分都符合置换规则，最终乘积效果和原7-循环完全一致。

这两种方法都能满足需求，第一种得到的3-循环数量更少，第二种步骤更直观易记，你可以根据需要选择～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Amelia O'Leary