非广义置换正交矩阵能否在≥2维子空间上保持ℓₚ范数（p为非2偶整数）

首先明确几个关键概念避免歧义：

• 广义置换矩阵：指每行、每列恰好包含一个非零元素，且该非零元素为$\pm1$的矩阵。
• $\ell_p^n(\mathbb{R})$的$p$-范数（$p$为偶整数）：对向量$v=(v_1,v_2,...,v_n)$，$|v|p = \left(\sum{i=1}^n v_i^p\right){1/p}$（因$p$为偶数，绝对值可省略）。

核心结论 #

当$p$是不等于2的偶整数时，存在满足条件的非广义置换正交矩阵。而题目中提到的「若$p$不是偶整数则不存在此类$Q$」的结论是成立的——这是因为非偶整数的$p$-范数对符号变化的敏感性更强，无法通过非置换正交矩阵保持子空间上的范数。

构造性例子验证 #

我们以$n=4$，$p=4$（典型的非2偶整数）为例，构造符合要求的矩阵：

1. 取子空间$V = \text{span}{(1,1,0,0), (0,0,1,1)}$，$W = \text{span}{(1,0,1,0), (0,1,0,1)}$（二者维数均为2）。
2. 构造正交矩阵$Q$：
   • $Q$将$V$的正交基${(1,1,0,0), (1,-1,0,0), (0,0,1,1), (0,0,1,-1)}$映射为${(1,0,1,0), (1,0,-1,0), (0,1,0,1), (0,1,0,-1)}$，若$n>4$，其余坐标保持恒等映射。
   • 这个$Q$是正交矩阵：它将一组标准正交基映射为另一组标准正交基，满足$Q^TQ=I$。
   • 它不是广义置换矩阵：比如$Q$的第一行元素为$(1,0,1,0)$，存在两个非零元素，不符合广义置换矩阵的定义。
3. 验证范数保持性：
   对任意$v = a(1,1,0,0) + b(0,0,1,1) \in V$，计算得：
   $$|v|_4^4 = a^4 + a^4 + b^4 + b^4 = 2a^4 + 2b^4$$
   而$Qv = a(1,0,1,0) + b(0,1,0,1) = (a,b,a,b)$，其4-范数的4次方为：
   $$|Qv|_4^4 = a^4 + b^4 + a^4 + b^4 = 2a^4 + 2b^4$$
   显然$|v|_4 = |Qv|_4$，满足要求。

补充说明 #

这个例子的核心思路是利用偶整数$p$的范数对坐标的「对称性聚合」特性：将原本分散在两组坐标对的分量重新分配到另外两组坐标对，只要保证每个分量的$p$次幂之和不变，就能通过正交矩阵实现这种映射，且无需依赖广义置换结构。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dave