求既非Dedekind整环也非UFD的Noetherian整环示例及相关问题

嘿，我来帮你理清这两个代数问题，一步步拆解：

一个经典且直观的例子是环R = Z[√-3]，我们来拆解它的三个关键性质：

• 诺特整环：R作为Z-模是有限生成的（生成元是1和√-3），而诺特环（这里是Z）上的有限生成模必然是诺特模——也就是说R的所有理想都是有限生成的，满足诺特环的定义。同时R是整环，因为它是域Q(√-3)的子环，不存在零因子。
• 不是UFD（唯一分解整环）：看元素4，它有两种本质不同的不可约分解：

  4 = 2×2 = (1+√-3)(1-√-3)
  

  这里2和1+√-3是不相伴的——因为(1+√-3)/2不在R中（R中的元素都是a+b√-3，其中a,b∈Z），所以这两种分解无法通过单位调整为一致，因此R不是UFD。
• 不是Dedekind整环：Dedekind整环要求是整闭的（即分式域中的所有整元都属于环本身），但R的分式域Q(√-3)中，元素(1+√-3)/2是整元（它满足方程t² - t + 1 = 0），却不在R中，所以R不是整闭的，不符合Dedekind整环的条件。

如果偏好代数几何相关的例子，k[x,y]/(y² - x³ - x²)（k为任意域）也满足条件：它是诺特的（多项式环的商环必为诺特环），维度为1但非整闭（因此不是Dedekind整环），同时也不是UFD。

你的问题核心是："诺特整环是分解整环，逆命题是否成立？是否存在不是诺特整环的分解整环？"

答案是逆命题不成立，确实存在非诺特的分解整环（分解整环也叫原子整环，指每个非零非单位元素都能分解为有限个不可约元的乘积）。

一个经典的例子是环R = Z[x, x/2, x/4, x/8, ...]，也就是在Z[x]中添加所有形如x/2ⁿ（n≥1）的元素得到的环：

• 是分解整环：R中的每个元素都可以写成xᵏ · m / 2ⁿ的形式，其中m是奇数整数，k≥0，n≥k。不可约元包括：
  • 所有奇素数p（无法分解为两个非单位的乘积，因为分解后必然其中一个因子是单位）；
  • 元素x（同样无法分解为非单位的乘积，任何分解都会包含一个单位因子）。
    任何非零非单位元素都可以表示为这些不可约元的乘积（乘以单位，比如1/2ⁿ这类元素是单位，因为它们的逆元2ⁿ在R中）。
• 不是诺特整环：考虑理想I = (x, x/2, x/4, x/8, ...)，它无法被有限生成。假设I由x/2ⁿ¹, x/2ⁿ², ..., x/2ⁿᵏ生成，取m = max(n₁,n₂,...,nₖ)+1，那么x/2ᵐ无法表示为这些生成元的R-线性组合——因为组合的结果会是x · c/2ᵐ⁻¹（c是整数），而x/2ᵐ等于这个式子意味着c=1/2，不是整数，矛盾。因此I不是有限生成的，R不满足诺特环的升链条件，不是诺特环。

另一个备选例子是域K上无限元多项式环的局部化：取S为K[x₁,x₂,x₃,...]中所有常数项非零的多项式构成的乘法子集，局部化环S⁻¹K[x₁,x₂,...]是分解整环（每个元素都能分解为不可约变量的乘积），但存在无限上升的理想链(x₁) ⊂ (x₁,x₂) ⊂ (x₁,x₂,x₃) ⊂ ...，因此不是诺特环。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Riju