求证：0<y<1时积分∫₀¹(log|x-y|)/√[x(1-x)]dx为常数

这个问题我之前研究位势论时也碰到过，直接交换导数和积分确实走不通，常规代换还容易绕进复杂计算，选对三角代换才是破局关键！下面一步步来推导：

步骤1：用三角代换简化积分形式 #

观察到分母是$\sqrt{x(1-x)}$，这是典型的适合正弦平方代换的形式：令$x = \sin^2\theta$，其中$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$。

此时：

• $dx = 2\sin\theta\cos\theta d\theta$
• 分母$\sqrt{x(1-x)} = \sqrt{\sin^2\theta \cos^2\theta} = \sin\theta\cos\theta$

代入原积分后，分母和$dx$中的$\sin\theta\cos\theta$直接约掉，积分简化为：
$$2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log\left|\sin^2\theta - y\right| d\theta$$

因为$y \in (0,1)$，我们再令$y = \sin^2\phi$（$\phi \in (0, \frac{\pi}{2})$），利用三角恒等式$\sin^2\theta - \sin^2\phi = \sin(\theta-\phi)\sin(\theta+\phi)$，积分进一步拆成两个部分：
$$2\left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log\left|\sin(\theta-\phi)\right| d\theta + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log\left|\sin(\theta+\phi)\right| d\theta \right)$$

步骤2：变量替换合并积分区间 #

分别对两个积分做变量替换：

1. 第一个积分：令$t = \theta - \phi$，则$\theta = t + \phi$，积分上下限变为$t=-\phi$到$t=\frac{\pi}{2}-\phi$，积分变为：
   $$\int_{-\phi}^{\frac{\pi}{2}-\phi} \log|\sin t| dt$$
2. 第二个积分：令$t = \theta + \phi$，则$\theta = t - \phi$，积分上下限变为$t=\phi$到$t=\frac{\pi}{2}+\phi$，积分变为：
   $$\int_{\phi}^{\frac{\pi}{2}+\phi} \log|\sin t| dt$$

接下来利用$\log|\sin t|$是偶函数（$|\sin(-t)|=|\sin t|$），把第一个积分拆成$\int_0^\phi \log|\sin t| dt + \int_0^{\frac{\pi}{2}-\phi} \log|\sin t| dt$。

然后处理第二个积分的后半段$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}+\phi} \log|\sin t| dt$：令$t = \frac{\pi}{2} + s$，则$\sin t = \cos s = \sin(\frac{\pi}{2}-s)$，再做替换$u=\frac{\pi}{2}-s$，积分就转化为$\int_{\frac{\pi}{2}-\phi}^{\frac{\pi}{2}} \log|\sin u| du$。

步骤3：合并积分得到经典结果 #

把所有部分加起来：
$$
\begin{align*}
&\int_{-\phi}^{\frac{\pi}{2}-\phi} \log|\sin t| dt + \int_{\phi}^{\frac{\pi}{2}+\phi} \log|\sin t| dt \
=&\left( \int_0^\phi + \int_0^{\frac{\pi}{2}-\phi} \right) + \left( \int_\phi^{\frac{\pi}{2}} + \int_{\frac{\pi}{2}-\phi}^{\frac{\pi}{2}} \right) \
=&\left( \int_0^\phi + \int_\phi^{\frac{\pi}{2}} \right) + \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}-\phi} + \int_{\frac{\pi}{2}-\phi}^{\frac{\pi}{2}} \right) \
=&\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log|\sin t| dt + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \log|\sin t| dt \
=&2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log|\sin t| dt
\end{align*}
$$

这里用到经典积分结论：$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \log\sin t dt = -\frac{\pi}{2}\log2$（这个结果可以通过对称性和加倍积分法证明，直接引用即可）。

步骤4：计算最终积分结果 #

把经典积分结果代入：
$$
2 \times 2 \times \left( -\frac{\pi}{2}\log2 \right) = -2\pi\log2
$$

这个结果是一个与y无关的常数，完全符合我们要证明的结论！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Exodd