求满足条件的2^a/3^b与3^a/2^b的最小值

首先，我们得明确核心问题：这两个问题本质上都是在找无限接近1的幂次比值，但因为2和3是互质的，不存在正整数a,b使得$2^a=3b$（否则会出现一个数既是2的幂又是3的幂，只能是1，但a,b是正整数，不可能），所以所有比值要么大于1要么小于1。而且由于$\frac{\ln3}{\ln2}$是无理数（如果它是有理数$\frac{p}{q}$，那$2^p=3q$，矛盾），我们可以找到无穷多组(a,b)使得$\frac{a}{b}$无限接近这个无理数，从而让比值无限接近1——这意味着严格来说不存在最小值，但我们可以找到一系列越来越小的比值，以下是具体分析：

第一部分：当$2^a \geq 3^{b$时，求$\frac{2}a}{3^b}$的最小可能值 #

我们可以通过枚举和连分数逼近的方法来找接近1的比值：

• 枚举小数值：
  • b=1时，a≥2（因为$2^2=4≥3$），比值为$\frac{4}{3}≈1.333$
  • b=3时，a≥5（$2^5=32≥27=33$），比值为$\frac{32}{27}≈1.185$
  • b=5时，a≥8（$2^{8=256≥243=3}5$），比值为$\frac{256}{243}≈1.053$
• 连分数逼近（更接近1的情况）：
  利用$\frac{\ln3}{\ln2}$的连分数收敛项，我们可以找到更接近1的比值：
  • 当a=65，b=41时，$\frac{2^{65}}{3{41}}≈1.0115$，这个比值比$\frac{256}{243}$更小
  • 当a=485，b=306时，$\frac{2^{485}}{3{306}}≈1.0010$，这个比值更接近1
  • 随着收敛项的增加，比值会无限趋近于1，没有尽头

第二部分：当$3^a > 2^{b$时，求$\frac{3}a}{2^b}$的最小可能值 #

同样的思路，我们找$\frac{a}{b}$接近$\frac{\ln2}{\ln3}≈0.6309$的正整数组：

• 枚举小数值：
  • a=1时，b=1（$3>2$），比值为$\frac{3}{2}=1.5$
  • a=2时，b=3（$9>8$），比值为$\frac{9}{8}=1.125$
  • a=19时，b=30，$\frac{3^{19}}{2{30}}≈1.082$，这个比$\frac{9}{8}$小
• 连分数逼近：
  • 当a=65，b=103时，$\frac{3^{65}}{2{103}}≈1.0202$，比1.082更小
  • 当a=485，b=770时，$\frac{3^{485}}{2{770}}≈1.0010$，同样无限趋近于1

关键结论 #

由于$\frac{\ln3}{\ln2}$是无理数，我们可以找到无穷多组(a,b)让比值无限接近1，因此不存在严格意义上的最小值。但如果是找“最小的可达到的比值”，理论上可以无限接近1，上述给出的是一些比较小的候选值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者toorelevant