如何求解实值函数方程$f(x^2+xf(y))= xf(y)$？已知$f(0)=0$

你已经得出$f(0)=0$，这是非常关键的第一步，接下来我们一步步推导所有满足条件的实函数：

步骤1：验证零函数是否是解 #

首先，考虑零函数：即对所有实数$x$，$f(x)=0$。代入原方程：
左边$f(x^2 + x \cdot 0)=f(x^2)=0$，右边$x \cdot 0=0$，等式两边完全相等，所以零函数是一个合法解。

步骤2：证明不存在非零解 #

假设存在某个实数$a$，使得$f(a) \neq 0$，我们来推导矛盾：

1. 令$x=1$，代入原方程得：
   $$f(1 + f(y))=f(y)$$
   对所有$y \in \mathbb{R}$成立。令$z=f(y)$，则$f(1+z)=z$对所有$z$在$f$的值域$\text{Im}(f)$内成立。
2. 再令$y=a$（即$f(y)=f(a)\neq0$），代入原方程得：
   $$f(x^2 + x f(a))=x f(a)$$
   对所有$x \in \mathbb{R}$成立。这里$x f(a)$可以取遍所有实数（因为$f(a)\neq0$，$x$是任意实数），这意味着$f$的值域$\text{Im}(f)=\mathbb{R}$（所有实数都能表示为$x f(a)$）。
3. 既然$\text{Im}(f)=\mathbb{R}$，那么步骤1中的$f(1+z)=z$对**所有实数$z$**成立。令$t=1+z$，则$z=t-1$，代入得：
   $$f(t)=t-1$$
   对所有$t \in \mathbb{R}$成立。
4. 现在把$f(t)=t-1$代入原方程验证：
   左边$f(x^2 + x f(y))=f(x^2 + x(y-1))=x^2 + x(y-1) -1 = x^2 + xy -x -1$
   右边$x f(y)=x(y-1)=xy -x$
   显然左边$x^2 + xy -x -1$和右边$xy -x$只有当$x^2-1=0$时才相等，这无法对所有实数$x$成立，矛盾。

这说明我们的假设（存在非零函数值）不成立，因此不存在非零解。

结论 #

唯一满足条件的实函数是零函数，即$f(x)=0$对所有$x \in \mathbb{R}$成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Vrouvrou