含Big Oh的递推式求解咨询：两道算法作业题解析需求

我来一步步帮你搞定这两个带Big Oh的递推式——刚好你提到的迭代法、递归树法完全能用上，咱们结合着来理解：

1. 处理 $T(n) = 8T(n/4) + O(n)$ #

这个递推式符合主定理的标准形式 $T(n) = aT(n/b) + f(n)$，咱们先拿主定理快速判断，再用递归树和迭代法验证，确保你吃透逻辑。

方法1：主定理直接套用 #

主定理的核心是对比 $f(n)$ 和 $n^{\log_b a}$ 的量级：

• 这里 $a=8$（子问题数量），$b=4$（每次问题规模缩小的倍数），$f(n)=O(n)$
• 计算 $\log_b a = \log_4 8 = 1.5$（因为 $4^{1.5}=4{3/2}=8$）
• $f(n)=O(n)$ 对应的是 $n^1$，指数1小于1.5，符合主定理的情况1
• 结论：$T(n) = O(n^{\log_4 8}) = O(n^{1.5}) = O(n\sqrt{n})$

方法2：递归树验证 #

递归树能直观看到每一层的代价总和：

• 根节点代价是 $O(n)$，它分裂成8个规模为 $n/4$ 的子问题，每个子问题代价是 $O(n/4)$，第二层总代价是 $8 \times O(n/4) = 2O(n)$
• 第三层每个子问题规模是 $n/16$，共 $8^2$ 个节点，总代价是 $8^2 \times O(n/16) = 4O(n)$
• 以此类推，每一层的总代价是 $2^k O(n)$（$k$ 是层数），直到子问题规模变成1（此时 $n/4^k=1$，$k=\log_4 n$）

把所有层的代价加起来，这是一个首项为 $O(n)$、公比为2的等比数列：
$$
O(n) + 2O(n) + 4O(n) + ... + 2^{\log_4 n}O(n)
$$
等比数列求和后，最终量级是 $O(n \times 2^{\log_4 n})$，而 $2^{\log_4 n}=n^{1/2}$，所以结果还是 $O(n\sqrt{n})$，和主定理一致。

方法3：迭代展开法 #

咱们手动展开递推式，看最终的总和：
$$
\begin{align*}
T(n) &= 8T(n/4) + O(n) \
&= 8[8T(n/16) + O(n/4)] + O(n) = 8^2T(n/16) + 2O(n) + O(n) \
&= 8^3T(n/64) + 4O(n) + 2O(n) + O(n) \
&... \
&= 8^k T(n/4^k) + O(n)(1+2+4+...+2^{k-1})
\end{align*}
$$
当 $n/4^k=1$ 时，$k=\log_4 n$，此时 $8^k = n^{1.5}$，而求和部分 $1+2+...+2^{k-1}=2k-1=O(\sqrt{n})$，所以最终 $T(n)=O(n^{1.5}) + O(n\sqrt{n})=O(n\sqrt{n})$。

2. 处理 $T(n)=T(n−4)+O(n^2)$ #

这个递推式是线性递减型（每次规模减固定常数），用迭代法最直接，不需要主定理。

迭代展开法 #

咱们一层层展开递推式：
$$
\begin{align*}
T(n) &= T(n-4) + O(n^2) \
&= T(n-8) + O((n-4)^2) + O(n^2) \
&= T(n-12) + O((n-8)^2) + O((n-4)^2) + O(n^2) \
&... \
&= T(c) + O\left(n^2 + (n-4)^2 + (n-8)^2 + ... + c^2\right)
\end{align*}
$$
这里 $c$ 是常数（比如1或4，取决于n的取值），$T(c)$ 是常数，不影响量级。

现在看平方和的量级：

• 这个求和共有 $\approx n/4$ 项（因为每次减4，到常数规模需要约n/4步）
• 每一项的量级都是 $O(n^2)$，所以总和是 $O(n/4 \times n^2) = O(n^3)$

如果想更精确，平方和的公式展开后也是 $O(n^3)$：比如当n是4的倍数时，求和是 $4^2 + 8^2 + ... +n²⁼¹⁶⁽¹2+2^2+...+(n/4)2)$，而平方和的量级是 $O((n/4)^3)=O(n3)$，所以整体还是 $O(n^3)$。

核心总结 #

处理带Big Oh的递推式，关键是把 $O(f(n))$ 当成「某个常数乘以$f(n)$」来处理——因为Big Oh只关心上界量级，常数系数不影响最终结果。根据递推式的类型（分治型/线性递减型），选择主定理、递归树或迭代法即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者danielschnoll