关于Aᵀ与A的特征向量正交性的验证及证明问询

嘿，你的这个观察完全正确！下面我会一步步给你证明这个结论，同时把A和Aᵀ特征向量之间的整体正交关系梳理清楚。

一、你的观察的正确性证明 #

先明确已知条件：

• 设A是n阶方阵，拥有n个互不相同的特征值$e_1, e_2, ..., e_n$，对应的特征向量分别为$u_1, u_2, ..., u_n$，满足 $A u_i = e_i u_i$（$i=1,2,...,n$）
• A的转置$A^T$与A有完全相同的特征值，对应的特征向量为$v_1, v_2, ..., v_n$，满足 $A^T v_j = e_j v_j$（$j=1,2,...,n$）

我们要证明的是：当$e_j \neq e_1$时，$u_1$与$v_j$正交，也就是它们的内积$u_1^T v_j = 0$。

证明步骤如下：

1. 从A的特征向量定义出发，对$A u_1 = e_1 u_1$两边同时左乘$v_j^T$，得到：
   $$v_j^T A u_1 = e_1 v_j^T u_1$$
2. 对左边的表达式做转置变换：因为标量的转置等于自身，所以$v_j^T A u_1 = (u_1^T A^T v_j)^{T$。结合$A}T v_j = e_j v_j$，代入后可得：
   $$(u_1^T A^T v_j)^T = (u_1^T e_j v_j)^T = e_j u_1^T v_j$$
3. 现在我们有两个式子都等于$v_j^T A u_1$，因此可以联立：
   $$e_j u_1^T v_j = e_1 v_j^T u_1$$
4. 注意到内积的对称性：$u_1^T v_j = v_j^T u_1$（两者都是标量），代入上式后得到：
   $$(e_j - e_1) u_1^T v_j = 0$$
5. 由于题目中明确A的所有特征值互不相同，当$e_j \neq e_1$时，$e_j - e_1 \neq 0$，因此必然有$u_1^T v_j = 0$，也就是$u_1$与$v_j$正交。

至此，你的观察就得到了严格证明。

二、A与Aᵀ特征向量的一般正交关系 #

把上面的结论推广到更一般的情况：

• 对于A的任意特征向量$u_i$（对应特征值$e_i$），和$A^T$的任意特征向量$v_j$（对应特征值$e_j$），当且仅当$e_i \neq e_j$时，$u_i$与$v_j$正交。
• 如果$e_i = e_j$（比如矩阵存在重特征值的情况），则$u_i$与$v_j$不一定正交；不过在你的问题场景中，A有n个不同特征值，所以每个特征值唯一对应一组$u_i$和$v_j$，此时只有$u_i$与$v_i$可能不正交，其余不同特征值对应的特征向量都两两正交。

举个简单例子验证：比如$A = \begin{bmatrix}1 & 1 \0 & 2\end{bmatrix}$，它的特征值为1和2，对应特征向量$u_1 = \begin{bmatrix}1 \0\end{bmatrix}$、$u_2 = \begin{bmatrix}1 \1\end{bmatrix}$；$A^T = \begin{bmatrix}1 & 0 \1 & 2\end{bmatrix}$的特征值同样是1和2，对应特征向量$v_1 = \begin{bmatrix}1 \-1\end{bmatrix}$、$v_2 = \begin{bmatrix}0 \1\end{bmatrix}$。可以计算：

• $u_1^T v_2 = 10 + 01 = 0$（$e_1≠e_2$，正交）
• $u_2^T v_1 = 11 + 1(-1) = 0$（$e_2≠e_1$，正交）
• $u_1^T v_1 = 11 +0(-1)=1≠0$（$e_1=e_1$，不正交）
• $u_2^T v_2 =10 +11=1≠0$（$e_2=e_2$，不正交）

完全符合我们的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Maroof