请求解x、y≠0的二元线性方程组：给定分式方程组的x、y解

嘿，我来帮你一步步拆解这个方程组，用换元法就能轻松搞定，咱们开始吧！

首先，原方程组是：
$$\begin{align}\frac{a^{2}{x}-\frac{b}2}{y}&=0\\frac{a^{2}{x}b+\frac{b}2}{y}a&=a+b\end{align}$$
已知$x,y \neq 0$，我们先观察到方程里反复出现$\frac{a^{2}{x}$和$\frac{b}2}{y}$这两个项，不如给它们换个变量名简化计算：

• 设 $u = \frac{a^2}{x}$
• 设 $v = \frac{b^2}{y}$

这样原方程组就转化成了简单的线性方程组：

1. $u - v = 0$
2. $bu + av = a + b$

第一步：推导u和v的关系 #

从第一个方程 $u - v = 0$，直接就能得出 $u = v$，这一步很直观对吧？

第二步：代入求解u #

把$u = v$代入第二个方程，得到：
$$bu + au = a + b$$
提取公因子$u$：
$$u(a + b) = a + b$$

这里要分两种情况讨论，避免出现除以0的错误：

• 情况1：$a + b \neq 0$
  两边同时除以$a + b$，就能得到 $u = 1$，因为$u = v$，所以$v = 1$。
• 情况2：$a + b = 0$
  这时候第二个方程变成$0 = 0$，是恒成立的等式，说明只要满足$u = v$就行，$u$和$v$可以是任意非零常数（毕竟$x,y \neq 0$，所以$u,v$不能为0）。

第三步：回代求x和y #

当$a + b \neq 0$时：

因为$u = \frac{a^2}{x} = 1$，所以直接解出 $x = a^2$；
同理，$v = \frac{b^2}{y} = 1$，所以 $y = b^2$。

当$a + b = 0$时：

由$u = k$（k为任意非零常数），可得 $x = \frac{a^2}{k}$；
又因为$a + b = 0$，所以$b = -a$，$b^2 = a^2$，因此$v = k = \frac{b^2}{y}$，解出 $y = \frac{a^2}{k}$。
换句话说，此时$x = y$，只要$x,y$不为0就行，有无穷多个解。

验证一下解的正确性 #

咱们把$x = a^2$，$y = b^2$代入原方程：

1. $\frac{a^2}{a2} - \frac{b^2}{b2} = 1 - 1 = 0$，完美符合第一个方程；
2. $\frac{a^2}{a2}b + \frac{b^2}{b2}a = b + a = a + b$，也完全匹配第二个方程。

如果是$a + b = 0$的情况，取$x = y = t$（t≠0）代入：

1. $\frac{a^2}{t} - \frac{b^2}{t} = \frac{a^2 - b^2}{t} = \frac{(a-b)(a+b)}{t} = 0$，符合第一个方程；
2. $\frac{a^2}{t}b + \frac{b^2}{t}a = \frac{ab(a + b)}{t} = 0 = a + b$，也满足第二个方程。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者GAME BUG