求双曲面9x²−45y²+5z²=45上切平面平行于x+5y−2z=7的点

没问题，我来一步步帮你解决这个问题。核心思路是：曲面在某点的切平面法向量和曲面的梯度向量一致，而两个平面平行的充要条件是它们的法向量共线（成比例）。我们按这个逻辑逐步推导：

步骤1：整理曲面方程并定义辅助函数 #

先把给定的双曲面方程$9x^2−45y2+5z^2=45$整理成标准形式，两边除以45：
$$\frac{x^2}{5} - y^2 + \frac{z^2}{9} = 1$$
我们定义函数 $F(x,y,z) = 9x^2 - 45y^2 + 5z^2 - 45$，这样原曲面就是$F(x,y,z)=0$的解集。

步骤2：计算切平面的法向量 #

对于曲面$F(x,y,z)=0$，任意点$(x_0,y_0,z_0)$处的切平面法向量是该点的梯度$\nabla F(x_0,y_0,z_0)$，计算三个偏导数：

• $\frac{\partial F}{\partial x} = 18x$
• $\frac{\partial F}{\partial y} = -90y$
• $\frac{\partial F}{\partial z} = 10z$
  因此，切平面法向量为 $\vec{n_1} = (18x_0, -90y_0, 10z_0)$。

步骤3：利用平面平行的条件建立等式 #

给定平面$x+5y−2z=7$的法向量是$\vec{n_2}=(1,5,-2)$。两个平面平行意味着它们的法向量共线，即存在非零实数$\lambda$，使得：
$$18x_0 = \lambda \cdot 1$$
$$-90y_0 = \lambda \cdot 5$$
$$10z_0 = \lambda \cdot (-2)$$

我们可以把$x_0,y_0,z_0$用$\lambda$表示：

• $x_0 = \frac{\lambda}{18}$
• $y_0 = -\frac{\lambda}{18}$
• $z_0 = -\frac{\lambda}{5}$

步骤4：代入曲面方程求解$\lambda$ #

把上述$x_0,y_0,z_0$代入原双曲面方程$9x^2−45y2+5z^2=45$：
$$9\left(\frac{\lambda}{18}\right)^2 - 45\left(-\frac{\lambda}{18}\right)^2 + 5\left(-\frac{\lambda}{5}\right)^2 = 45$$

拆分计算每一项：

• $9\cdot\frac{\lambda^2}{324} = \frac{\lambda^2}{36}$
• $-45\cdot\frac{\lambda^2}{324} = -\frac{5\lambda^2}{36}$
• $5\cdot\frac{\lambda^2}{25} = \frac{\lambda^2}{5}$

合并左边项：
$$\frac{\lambda^2}{36} - \frac{5\lambda^2}{36} + \frac{\lambda^2}{5} = -\frac{4\lambda^2}{36} + \frac{\lambda^2}{5} = -\frac{\lambda^2}{9} + \frac{\lambda^2}{5} = \frac{4\lambda^2}{45}$$

令其等于45，解出$\lambda$：
$$\frac{4\lambda^2}{45} = 45 \implies \lambda^2 = \frac{45^2}{4} \implies \lambda = \pm\frac{45}{2}$$

步骤5：求出对应的点 #

把$\lambda$的两个值分别代入$x_0,y_0,z_0$的表达式：

当$\lambda = \frac{45}{2}$时：

• $x_0 = \frac{45/2}{18} = \frac{5}{4}$
• $y_0 = -\frac{45/2}{18} = -\frac{5}{4}$
• $z_0 = -\frac{45/2}{5} = -\frac{9}{2}$
  得到点：$\boldsymbol{\left(\frac{5}{4}, -\frac{5}{4}, -\frac{9}{2}\right)}$

当$\lambda = -\frac{45}{2}$时：

• $x_0 = \frac{-45/2}{18} = -\frac{5}{4}$
• $y_0 = -\frac{-45/2}{18} = \frac{5}{4}$
• $z_0 = -\frac{-45/2}{5} = \frac{9}{2}$
  得到点：$\boldsymbol{\left(-\frac{5}{4}, \frac{5}{4}, \frac{9}{2}\right)}$

验证（可选） #

以第一个点为例，代入原方程验证：
$$9\left(\frac{5}{4}\right)^2 -45\left(-\frac{5}{4}\right)^2 +5\left(-\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{225}{16} - \frac{1125}{16} + \frac{405}{4} = -\frac{900}{16} + \frac{1620}{16} = 45$$
完全符合原方程，且该点的切平面法向量提取公因子后与给定平面法向量$(1,5,-2)$一致，说明切平面确实平行。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者confusedmathstudent