抛物型PDE正则性：Evans书中定理与Galerkin近似技术问询

在Evans的偏微分方程教材里，针对**一致抛物算子（散度形式）**的首个正则性定理，专门考虑了系数$a^{ij},bi,c$全光滑且不依赖时间参数$t$的情形。结合给定的Galerkin近似序列${u_m}$设定，下面就拆解对应的正则性结论和近似序列的核心性质：

这里的算子$L$满足一致抛物性：存在常数$\lambda>0$，对所有$x\in U$和$\xi\in\mathbb{R}^n$，有
$$a^{{ij}(x)\xi_i\xi_j\geq\lambda|\xi|}2$$
同时系数$a^{ij},bi,c$均属于$C^\infty(\overline{U})$且与$t$无关。对应的正则性结论如下：

• 若源项$f\in L^2(0,T;L2(U))$，初始条件$g\in H_0^1(U)\cap H^2(U)$，则方程的弱解$u$具备以下正则性：
  • $u\in L^{\infty(0,T;H_0}1(U))\cap L^2(0,T;H2(U))$
  • 时间导数$u_t\in L^2(0,T;L2(U))$
• 若$f$和$g$的正则性更高（比如$f\in L^2(0,T;Hk(U))$，$g\in H^{k+1}(U)\cap H_0^1(U)$，$k\geq0$），解$u$会对应提升正则性：
  • $u\in L^2(0,T;H{k+2}(U))$
  • $u_t\in L^2(0,T;Hk(U))$
    这一递推性质完全贴合Sobolev空间的层级提升规律。

${u_m}$是基于拉普拉斯算子$\Delta$的标准正交特征向量基${w_n}$构造的近似解序列，针对给定的初边值问题，它有这些核心性质：

• 构造方式：每个$u_m(t)$属于$\text{span}{w_1,w_2,...,w_m}$，满足投影后的Galerkin方程：对任意$1\leq k\leq m$，有
  $$\langle (u_m)_t, w_k \rangle + \langle L u_m, w_k \rangle = \langle f, w_k \rangle$$
  初始条件$u_m(0)$是$g$在$\text{span}{w_1,...,w_m}$上的正交投影。
• 一致先验估计：无论$m$取多大，${u_m}$在以下空间中都是有界的，且界不依赖于$m$：
  • $L^{\infty(0,T;H_0}1(U))$
  • $L^2(0,T;H2(U))$
  • $L^2(0,T;L2(U))$（针对时间导数$(u_m)_t$）
    这是后续利用紧性论证证明收敛性的核心基础。
• 收敛特性：当$m\to\infty$时：
  • $u_m$在$L^2(0,T;H_01(U))$中强收敛到原方程的弱解$u$
  • $u_m$在$L^\infty(0,T;L2(U))$中弱*收敛到$u$
  • $(u_m)_t$在$L^2(0,T;L2(U))$中弱收敛到$u_t$
• 自身正则性：每个$u_m$都是关于$t$的光滑函数（因为系数光滑，特征向量光滑，且每个$u_m$对应一个有限维常微分方程组的解），这让我们可以用常微分方程的成熟理论分析单个近似解的存在性与局部性质。

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