非定常流中流体质点迹线及指定时刻流线方程求解咨询

嘿，我来一步步帮你搞定这个二维非定常欧拉流体的迹线和流线问题，咱们分两部分来拆解～

迹线是流体质点随时间的运动轨迹，对应解给定的微分方程组，初始条件为 $t=0$ 时 $\underline{r}=(x_0,y_0,z_0)$。

首先看z方向的方程：$\frac{dz}{dt}=0$，直接积分可得 $z(t)=z_0$，这个很直观，质点在z方向没有运动。

接下来处理x和y的耦合微分方程组：
$$
\begin{cases}
\frac{dx}{dt} = -a y \
\frac{dy}{dt} = a x - a b t
\end{cases}
$$

我们用消元法转化为二阶微分方程：对第一个方程两边求导，得到 $\frac{d^2x}{dt2} = -a \frac{dy}{dt}$，然后把第二个方程中的 $\frac{dy}{dt}$ 代入，可得：
$$
\frac{d^2x}{dt2} = -a(ax - abt) \implies \frac{d^2x}{dt2} + a^2x = a^2 b t
$$

这是一个二阶线性非齐次常微分方程，分两步求解：

1. 齐次解：齐次方程 $\frac{d^2x}{dt2} + a^2x = 0$ 的特征根为 $r=\pm ia$，所以齐次解为：
   $$x_h(t) = C_1 \cos(at) + C_2 \sin(at)$$
2. 特解：非齐次项是一次多项式，设特解为 $x_p(t)=Dt+E$，代入原方程对比系数可得 $D=b$，$E=0$，即 $x_p(t)=bt$。

因此x(t)的通解为：
$$x(t) = C_1 \cos(at) + C_2 \sin(at) + bt$$

利用初始条件 $t=0$ 时 $x=x_0$，代入得 $C_1=x_0$。再对x(t)求导：
$$\frac{dx}{dt} = -aC_1 \sin(at) + aC_2 \cos(at) + b$$
结合 $t=0$ 时 $\frac{dx}{dt}=-a y_0$，代入得：
$$-a y_0 = aC_2 + b \implies C_2 = -y_0 - \frac{b}{a}$$

现在把C1和C2代入x(t)，再利用第一个方程 $\frac{dx}{dt}=-a y$ 解出y(t)：
$$y(t) = -\frac{1}{a}\frac{dx}{dt} = x_0 \sin(at) + \left(y_0 + \frac{b}{a}\right)\cos(at) - \frac{b}{a}$$

整理后，完整的迹线参数方程为：

• $x(t) = x_0 \cos(at) - \left(y_0 + \frac{b}{a}\right)\sin(at) + bt$
• $y(t) = x_0 \sin(at) + \left(y_0 + \frac{b}{a}\right)\cos(at) - \frac{b}{a}$
• $z(t) = z_0$

流线是某一固定时刻t，速度场的切线构成的曲线，满足速度向量与流线切向量平行，即 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$。

代入速度分量的表达式：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{ax - abt}{-ay} = \frac{bt - x}{y}$$

这是一个可分离变量的微分方程，整理后两边积分：
$$\int y dy = \int (bt - x) dx$$

计算积分：
$$\frac{1}{2}y^2 = bt x - \frac{1}{2}x^2 + C$$

两边乘2并整理成标准形式：
$$x^2 + y^2 - 2bt x = C'$$
（其中 $C'=2C$ 是常数）

因为流线经过 $\underline{r}_0=(x_0,y_0,z_0)$，代入t时刻的条件确定常数：
$$x_0^2 + y_0^2 - 2bt x_0 = C'$$

因此流线的平面方程为：
$$(x - bt)^2 + y^2 = (x_0 - bt)^2 + y_0^2$$

同样，z方向速度为0，所以流线的z坐标保持不变，即 $z=z_0$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MRT