求解三角方程$10\sin^2x + 10\sin x\cos x - \cos^2x - 2 = 0$遇阻，求协助

嘿，我来帮你搞定这个棘手的三角方程！你尝试直接因式分解没成功太正常了，这个式子确实没法直接拆成因式，咱们换个思路——把它转化为关于$\tan x$的一元二次方程来解，步骤很清晰：

步骤1：将方程转化为正切形式 #

首先把原式整理一下：
10sin²x + 10sinxcosx - cos²x = 2

先验证$\cos x=0$的情况：代入原式左边得$10*1 + 0 - 0 -2=8≠0$，说明$\cos x≠0$，咱们可以放心地给方程两边同时除以$\cos²x$：
10tan²x + 10tanx - 1 = 2sec²x

记得三角恒等式$\sec²x = 1 + \tan²x$，把它代入上式：
10tan²x + 10tanx - 1 = 2(1 + tan²x)

展开右边并移项合并同类项，得到关于$\tan x$的一元二次方程：
8tan²x + 10tanx - 3 = 0

步骤2：解一元二次方程 #

设$t = \tan x$，方程变为8t² +10t -3=0，用求根公式求解：
$$t = \frac{-10 \pm \sqrt{10² - 48(-3)}}{2*8} = \frac{-10 \pm 14}{16}$$

算出两个根：

• $t_1 = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
• $t_2 = \frac{-24}{16} = -\frac{3}{2}$

步骤3：在定义域内求所有x的值 #

接下来分别针对两个$\tan x$的值，找出$-360^\circ <x<360^\circ$内的所有解：

当$\tan x = \frac{1}{4}$时

正切函数周期是$180^\circ$，主值解为$x ≈ \arctan(\frac{1}{4}) ≈14.04^\circ$，由此得到所有解：

• $x ≈14.04^\circ$
• $x ≈14.04^\circ +180^\circ=194.04\circ$
• $x ≈14.04^\circ -180^{\circ=-165.96}\circ$
• $x ≈14.04^\circ -360^{\circ=-345.96}\circ$

当$\tan x = -\frac{3}{2}$时

主值解为$x ≈ \arctan(-\frac{3}{2})≈-56.31^\circ$，同样利用周期得到所有解：

• $x ≈-56.31^\circ$
• $x ≈-56.31^\circ +180^\circ=123.69\circ$
• $x ≈-56.31^\circ -180^{\circ=-236.31}\circ$
• $x ≈-56.31^\circ +360^\circ=303.69\circ$

验证解的正确性 #

你可以随便挑一个解代入原方程验证，比如取$x≈123.69^\circ$，$\sin x≈0.8320$，$\cos x≈-0.5547$，代入原式：
$10*(0.8320)^2 +100.8320(-0.5547) - (-0.5547)^2 -2 ≈ 6.922 -4.615 -0.307 -2=0$，完全符合！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fermat870