给定群表示识别群：求群G的具体类型及其阶数

首先我们来分析给定的群表示：
$$ G := \langle a,b |a^8=b8=1,a^{-1}ba=b{-1},b^{-1}ab=a{-1} \rangle $$

一、计算群的阶数 #

群G中的任意元素都可以表示为 $a^i b^j$ 的形式（其中 $i,j \in {0,1,...,7}$），这是因为通过关系 $a^{-1}ba = b^{-1}$（等价于 $ab = ba^{-1}$），我们可以将任意乘积中的a和b交换顺序，最终整理成a的幂次在前、b的幂次在后的形式。

接下来验证这些元素是否互不相同：假设存在不同的 $(i,j)$ 和 $(k,l)$ 使得 $a^i b^j = a^k b^l$，则 $a^{i-k} = b^{l-j}$。令 $m=i-k$，$n=l-j$，则 $a^m = b^n$。

• 对等式两边用a共轭：$a^{-1}am a = a^m$，而 $a^{-1}bn a = (a^{-1}ba)n = (b^{-1})n = b^{-n}$，因此 $a^m = b^{-n}$。结合 $a^m = b^n$ 可得 $b^n = b^{-n}$，即 $b^{2n}=1$。由于b的阶是8，故 $8|2n$，即 $n \equiv 0$ 或 $4 \pmod{8}$。
  • 若 $n \equiv 0 \pmod{8}$，则 $a^m=1$，结合a的阶为8得 $m \equiv 0 \pmod{8}$，即 $i=k$ 且 $j=l$，无重复元素。
  • 若 $n \equiv 4 \pmod{8}$，则 $a^m = b^{4$。对等式两边用b共轭：$b}{-1}a^m b = (b^{-1}ab)m = (a^{-1})m = a^{-m}$，而 $b^{-1}b4 b = b^4$，故 $a^{-m}=b4$。结合 $a^m = b^4$ 得 $a^m = a^{-m}$，即 $a^{2m}=1$，故 $m \equiv 0$ 或 $4 \pmod{8}$。若 $m \equiv 0$，则 $b^4=1$，与b的阶为8矛盾；若 $m \equiv4$，则 $a^4 = b^4$，但该等式并未包含在原群的定义关系中，因此在G中不成立。

综上，所有 $a^i b^j$ 都是不同的元素，群G的阶为 $8 \times 8 = 64$。

二、识别群的具体类型 #

这个群是循环群 $C_8$ 与 $C_8$ 的半直积，其中生成元b通过逆自同构作用于生成元a：即b对a的共轭作用将a映射为其逆元（$b^{-1}ab = a^{-1}$）。

具体来说，半直积的构造是：取正规子群 $N = \langle a \rangle \cong C_8$，以及子群 $H = \langle b \rangle \cong C_8$，定义同态 $\phi: H \to \text{Aut}(N)$，其中 $\phi(b)(a) = a^{{-1}$（$\phi(b}k)(a) = a^{(-1)k}$，k为整数），则 $G \cong N \rtimes_\phi H$。

这类群属于非交换群，中心包含元素 $a^4, b^2, a^4b2$ 等（共8个元素），是一类由两个循环群通过逆自同构构造的典型半直积群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Luca Sabatini