含素数、对数与有限集的不等式证明及相关推导问询

我来一步步帮你拆解这个数论问题的证明思路哈～

先明确题目里的核心定义和要证的结论：

• $p_n$：第$n$个素数（$n \geq 1$）
• $d_n$：素数间隙，定义为$d_n = p_n - p_{n-1}$（$n>1$），且$d_1 = 2$
• $N{S}$：有限集合$S$的元素个数
• $\pi(x)$：素数计数函数，即不超过$x$的素数个数

需要证明两个结论：

1. 对任意$c>0$，有：
   $$N \left { n: p_n \leq x , d_n > c \log x \right } \cdot c \log x < \sum_{\substack{p_n \leq x \ d_n > c \log x}} d_n \leq x$$
2. 对适当的$c$（比如$c<1$），有：
   $$N \left { n: p_n \leq x , d_n > c \log x \right } >> \pi (x)$$

我们把这个不等式拆成左右两部分分别来看：

左边不等式：$N{...} \cdot c\log x < \sum d_n$ #

这个其实非常直观：
对于每个满足$p_n \leq x$且$d_n > c\log x$的$n$，单个间隙$d_n$都严格大于$c\log x$。把所有这样的$d_n$加起来，总和肯定大于满足条件的间隙个数乘以$c\log x$，也就是：
$$\sum_{\substack{p_n \leq x \ d_n > c \log x}} d_n > \sum_{\substack{p_n \leq x \ d_n > c \log x}} c\log x = N \left { n: p_n \leq x , d_n > c \log x \right } \cdot c\log x$$

右边不等式：$\sum d_n \leq x$ #

这里的关键是素数间隙的几何意义：每个$d_n = p_n - p_{n-1}$对应数轴上的一个区间$(p_{n-1}, p_n)$，这些区间都是互不重叠的。
所有满足$p_n \leq x$的间隙对应的区间，右端点都不超过$x$，左端点至少是$p_1=2$（甚至更小，比如$d_1=2$对应区间$(0,2)$）。这些区间的总长度就是$\sum d_n$，而它们的并集完全包含在$(0, x]$范围内，所以总长度肯定不超过$x$，也就是：
$$\sum_{\substack{p_n \leq x \ d_n > c \log x}} d_n \leq x$$

这里我们需要结合素数定理的推论：素数的平均间隙~$\log x$，也就是$\frac{\sum_{n=1}^{\pi(x)} d_n}{\pi(x)} \sim \log x$。原因很简单，素数定理告诉我们$\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}$，而所有间隙的总和$\sum_{n=1}^{\pi(x)} d_n = p_{\pi(x)} \sim x$（$p_{\pi(x)}$是不超过$x$的最大素数），所以平均间隙就是$\frac{x}{\pi(x)} \sim \log x$。

接下来用反证法：假设存在某个$c<1$，使得$N \left { n: p_n \leq x , d_n > c \log x \right } = o(\pi(x))$（也就是大间隙的个数远小于素数总数）。

• 设$A(x)$是间隙≤$c\log x$的个数，$B(x)$是间隙>$c\log x$的个数，那么$A(x) + B(x) = \pi(x)$，根据假设$A(x) \sim \pi(x)$。
• 间隙≤$c\log x$的总和$\sum_{d_n \leq c\log x}d_n \leq A(x) \cdot c\log x \sim \pi(x) \cdot c\log x \sim \frac{x}{\log x} \cdot c\log x = cx$。
• 而所有间隙的总和~$x$，所以大间隙的总和$\sum_{d_n >c\log x}d_n = \sum_{all}d_n - \sum_{small}d_n \sim x - cx = x(1-c)$，但根据第一部分的左边不等式，$\sum_{d_n >c\log x}d_n \geq B(x) \cdot c\log x$，代入得：
  $$x(1-c) \geq B(x) \cdot c\log x$$
  但如果$B(x)=o(\pi(x))=o(\frac{x}{\log x})$，右边就是$o(\frac{x}{\log x}) \cdot c\log x = o(x)$，而左边是$x(1-c)$（常数倍的$x$），这就矛盾了。

或者换个更直观的角度：如果大部分间隙都≤$c\log x$（$c<1$），那么这些小间隙的平均最多是$c\log x$，但它们的总和几乎是$x$（因为大间隙的和是$o(x)$），所以平均间隙应该~$\frac{x}{\pi(x)}=\log x$，这就要求$c\log x \geq \log x$，即$c\geq1$，和我们取$c<1$矛盾。

因此，当$c<1$时，必然有$B(x)>>\pi(x)$，也就是大间隙的个数和素数总数是同阶的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dominated Convergence Theorem