关于Jacobson《环的结构》中元素作用特殊符号的技术咨询

咱们先把书中的核心定义摆出来，方便对照理解：

给定一对左$R$-模$A_1$和$A_2$，记$H := \text{hom}(A_1,A_2)$为从$A_1$到$A_2$的线性态射集合。作者定义了如下正交补集合：

• 若$S\subset H$，则定义$$S^\perp = {a\in A_1 \text{ s.t. } aS = {0}}$$；
• 若$S$是$A_1$的子集，则定义$$S^\perp = {\alpha\in \text{hom}(A_1,A_2)\text{ s.t. } S\alpha= 0}$$。

这里最容易让人困惑的就是$aS$、$S\alpha$这种反常规的作用记法，其实本质是Jacobson习惯用右作用形式来写态射对模元素的映射，和咱们常见的左作用记法只是书写顺序不同，逻辑完全等价：

• 对于$a \in A_1$和$\alpha \in H$，你熟悉的写法可能是$\alpha(a)$（态射$\alpha$作用在$a$上），但Jacobson写成$a\alpha$——把模元素放在左边，态射放在右边，像右乘一样。
• 所以$aS$（$S$是态射子集）就是所有$a\alpha$（$\alpha \in S$）的集合，$aS = {0}$就意味着对每一个$\alpha \in S$，$a\alpha = 0$，也就是常规记法里的$\alpha(a) = 0$。
• 而$S\alpha$（$S$是$A_1$的子集）则是说，对每一个$a \in S$，都有$a\alpha = 0$，也就是态射$\alpha$把$S$里的所有元素都映射到$A_2$的零元。

这种右作用记法在Jacobson的著作里很常见，好处是处理态射复合的时候更顺：比如有$\alpha: A_1 \to A_2$，$\beta: A_2 \to A_3$，复合态射（先$\alpha$再$\beta$）写成$\alpha\beta$，作用在$a$上就是$(a\alpha)\beta = a(\alpha\beta)$，完美贴合结合律的书写逻辑，不用调整顺序。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user405156