傅里叶分析中等式证明求助：求证明思路提示

这道题的核心是泊松求和公式——它正是联系函数格点和与傅里叶变换求和的关键工具，下面给你分步拆解思路：

1. 先锚定泊松求和的标准形式
   对于满足收敛条件的函数$g \in L^1(\mathbb{R})$，泊松求和公式为：
   $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} g(n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat{g}(k)$$
   注意不同教材的傅里叶变换$\hat{g}$定义可能带不同常数因子（比如有的包含$\frac{1}{2\pi}$，有的不包含），你需要先把题目里的积分和你所学的傅里叶变换定义对齐。

2. 把题目式子往泊松求和的形式上凑
   题目左边的求和项$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{int}dt$，本质是$f$的傅里叶变换在$n$点（或其相反数）的取值（带系数）。为了对应右边的$f(2m\pi)$，可以尝试做变量替换：令$g(t) = f(2\pi t)$，然后写出$g$的傅里叶变换，你会发现它和题目左边的积分直接相关。

3. 搞懂$f \in C^1_c(\mathbb{R})$的作用

   • 紧支集（下标$c$）：说明$f$只在某个有限区间内非零，因此右边的求和$\sum_{m=-\infty}^{\infty}f(2m\pi)$其实是有限和——只有有限个$m$能让$2m\pi$落在$f$的支集里，这直接保证了右边求和的收敛性。
   • **连续可微（$C^{1$）**：紧支集的$C}1$函数，其傅里叶变换$\hat{f}$会有$O(1/|\xi|)$的衰减速度（当$|\xi| \to \infty$时），这让左边的求和$\sum_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(n)$（或带系数的版本）满足绝对收敛，刚好符合泊松求和公式对函数的收敛要求。

4. 最后验证适用条件
   因为$f$是紧支集$C^1$函数，它天然满足泊松求和公式的所有前提（绝对可积、傅里叶变换衰减足够快等），直接套用公式就能完成等式推导。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Hurjui Ionut