关于Milne椭圆曲线书中相交重数I(P,C∩D)=1等价条件的证明困惑

嘿，我在读Milne的椭圆曲线著作时碰到了这个关于相交重数的困惑点，现在试着一步步梳理$\Leftarrow$方向的证明过程——也就是当点$P$在曲线$C$和$D$上均非奇异，且$P$处$C$与$D$的切线互不相同时，证明$I(P, C \cap D)=1$，其中$C,D$对应多项式$f,g \in k[X,Y]$。

步骤1：坐标简化 #

首先我们可以做坐标变换，把点$P$平移到原点$(0,0)$——这种线性变换不会改变相交重数的数值，完全不影响证明结果，所以不妨直接设$P=(0,0)$。

步骤2：多项式的齐次分量展开 #

把$f$和$g$按齐次多项式的次数拆分：

• $f = f_1 + f_2 + ... + f_r$，其中每个$f_i$是$X,Y$的$i$次齐次多项式
• $g = g_1 + g_2 + ... + g_m$，其中每个$g_i$是$X,Y$的$i$次齐次多项式

因为$P=(0,0)$在$C$和$D$上，所以$f(0,0)=0$、$g(0,0)=0$，因此它们的常数项都为0，最低次分量是一次齐次多项式。

步骤3：利用非奇异与切线不同的条件 #

• 由于$P$在$C$上非奇异，根据曲线非奇异点的定义（偏导数不全为0），$f_1$不能是零多项式——$f_1$其实就是$C$在$P$处的切线方程；同理，$g_1$也非零，对应$D$在$P$处的切线方程。
• 题目给出$P$处$C$与$D$的切线互不相同，这意味着$f_1$和$g_1$是线性无关的一次齐次多项式。

步骤4：计算相交重数 #

相交重数$I(P, C \cap D)$的定义是：局部环$\mathcal{O}{k^2, P}$中理想$(f,g)$的商空间作为$k$-向量空间的维数，即$\dim_k \mathcal{O}{k^2, P}/(f,g)$。

因为$f_1$和$g_1$线性无关，我们可以做线性变量替换，让$f_1=X$、$g_1=Y$（这种变换不改变相交重数），此时：

• $f = X + f_2 + ... + f_r$（$f_2$及以上都是二次及更高次的齐次项）
• $g = Y + g_2 + ... + g_m$（同理，$g_2$及以上是高阶项）

现在看局部环$\mathcal{O}{k^2, P} = k[X,Y]{(X,Y)}$（原点处的局部有理函数环），在商环$\mathcal{O}_{k^2, P}/(f,g)$中：

• 由$f=0$可得$X = -(f_2 + f_3 + ... + f_r)$，这里右边都是$X,Y$的二次及以上项
• 由$g=0$可得$Y = -(g_2 + g_3 + ... + g_m)$，右边同样是高阶项

我们可以用完备化的思路辅助理解：在形式幂级数环$k[[X,Y]]$中，理想$(f,g)$等价于理想$(X,Y)$——因为通过代入消元，高阶项都可以被$X,Y$生成，最终商环$k[[X,Y]]/(f,g) \cong k[[X,Y]]/(X,Y) \cong k$，这个商空间作为$k$-向量空间的维数是1，因此相交重数$I(P, C \cap D)=1$。

这样就完成了$\Leftarrow$方向的证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user531787