不用壳法，如何用washer法计算指定旋转体的体积？

没问题，咱们一步步拆解怎么用washer法搞定这个旋转体体积问题～

首先得明确咱们的研究对象：要计算的是由曲线 ( y = x^3 + x + 1 )、直线 ( x=a )、( x=b ) 以及x轴围成的区域（如果你指的是其他边界，只需要替换掉下面的下限即可），绕水平直线 ( y=c ) 旋转出来的立体体积。

1. 先搞懂Washer法在这里的逻辑 #

Washer法的核心是用垂直于旋转轴的切片来分割立体——因为旋转轴是水平的 ( y=c )，所以我们取竖直切片（固定一个x值，y从x轴的0到曲线的 ( x^3+x+1 )，切片厚度是 ( dx )）。每个这样的切片绕 ( y=c ) 旋转后，会形成一个圆环（也就是washer），体积就是这个圆环的面积乘以切片厚度，最后把所有切片的体积积分起来就行。

2. 确定每个切片的内外半径 #

对于每个x处的竖直切片，上面的点到旋转轴 ( y=c ) 的垂直距离是 ( |y - c| )，所以我们需要找这个切片上离旋转轴最远和最近的距离：

• 切片上端（曲线处）的距离：( |(x^3+x+1) - c| )
• 切片下端（x轴处）的距离：( |0 - c| = |c| )

圆环的面积是 ( \pi \times (\text{外半径}^2 - \text{内半径}^2) )，这里外半径就是两个距离里更大的那个，内半径是更小的那个。

为了计算方便，我们可以把平方后的表达式简化：

• 如果曲线到旋转轴的距离 ≥ x轴到旋转轴的距离，那面积就是 ( \pi \times \left[ (x^3+x+1 - c)^2 - c^2 \right] )，展开后是 ( \pi \times \left[ (x^3+x+1)2 - 2c(x^3+x+1) \right] )
• 如果曲线到旋转轴的距离 < x轴到旋转轴的距离，那面积就是 ( \pi \times \left[ c^2 - (x^3+x+1 - c)^2 \right] )，展开后是 ( \pi \times \left[ 2c(x^3+x+1) - (x^3+x+1)2 \right] )

3. 分区间处理（因为曲线是单调的） #

曲线 ( y=x^3+x+1 ) 的导数是 ( 3x^2+1 )，永远大于0，所以它是严格单调递增的。这意味着我们可以先找到几个关键的分界点：

• 先看 ( c ) 和曲线在区间 ( [a,b] ) 两端的值 ( f(a)=a^3+a+1 )、( f(b)=b^3+b+1 ) 的大小关系：
  1. 如果 ( c \leq f(a) )：整个区间内曲线都在 ( y=c ) 上方，这时候只需要找x使得 ( (x^3+x+1)-c = |c| )，把区间分成两部分分别积分
  2. 如果 ( c \geq f(b) )：整个区间内曲线都在 ( y=c ) 下方，同样找x使得 ( c-(x^3+x+1)=|c| )，拆分积分
  3. 如果 ( f(a) < c < f(b) )：先找到x₀使得 ( x₀^3+x₀+1=c )，把区间分成 ( [a,x₀] )（曲线在 ( y=c ) 下方）和 ( [x₀,b] )（曲线在 ( y=c ) 上方），再在每个子区间里比较距离大小，拆分积分

4. 展开多项式并计算积分 #

不管哪种情况，展开后都是多项式，计算起来很简单：
比如 ( (x^3+x+1)2 = x^6 + 2x^4 + 2x^3 + x^2 + 2x + 1 )，( 2c(x^3+x+1)=2c x^3 + 2c x + 2c )，代入后逐项积分就行，积分公式就是 ( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C )。

举个具体例子：如果 ( a=0, b=1, c=1 )，先找 ( x^3+x+1=1 ) 的解是x=0，再找 ( x^3+x=1 ) 的解x₀≈0.682，那体积就是：
[
V = \pi \int_{0}^{x_0} \left( 1^2 - (x^3+x)2 \right) dx + \pi \int_{x_0}^{1} \left( (x^3+x)2 - 1^2 \right) dx
]
把多项式展开后计算积分就能得到结果啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者William Grannis