大量相关事件的概率：100×100网格目标投掷问题求解

首先得明确题目里的核心概率定义：这里的「击中目标」指的是单次投掷成功摧毁一个未被摧毁的网格目标的概率。我们要找的是最小的投掷次数n，让第n次投掷时这个概率降到85%以下。

关键推导步骤 #

• 初始状态下，目标网格总共有100×100=10000个未被摧毁的目标。
• 每次投掷有10%概率完全偏离目标区域（这时候肯定没法击中目标），90%概率命中目标区域。在命中区域的前提下，击中未被摧毁目标的概率等于当前未被摧毁目标数与总目标数的比值。

我们可以用递推关系简化计算：

1. 设S(k)为第k次投掷前，未被摧毁目标数的期望；P(k)为第k次投掷击中目标的概率。
2. 初始时S(1)=10000，第1次击中概率P(1)=0.9*(10000/10000)=90%。
3. 每次投掷后，未被摧毁目标的期望会减少P(k)（因为成功击中的概率就是P(k)），因此递推公式为：

   S(k+1) = S(k) - P(k) = S(k)*(1 - 0.9/10000) = S(k)*0.99991
   

   这说明S(k)是一个等比数列，通项为：

   S(k) = 10000*(0.99991)^(k-1)
   

4. 代入P(k)的计算式，得到：

   P(k) = 0.9*(S(k)/10000) = 0.9*(0.99991)^(k-1)
   

求解最小n #

我们需要找到最小的n，使得P(n) < 0.85，即：

0.9*(0.99991)^(n-1) < 0.85

化简后得到：

(0.99991)^(n-1) < 0.85/0.9 ≈ 0.944444

对两边取自然对数（注意底数小于1时，对数的单调性会让不等号方向改变）：

n-1 > ln(0.85/0.9)/ln(0.99991) ≈ (-0.05799)/(-9.00004e-5) ≈ 644.35

因此n-1至少取645，也就是n=646。

验证一下：

• 第645次投掷的概率：0.9*(0.99991)^644 ≈ 0.85002（略高于85%）
• 第646次投掷的概率：0.9*(0.99991)^645 ≈ 0.84994（低于85%）

结论 #

预计在第646次投掷时，此人击中目标的概率会降至85%以下。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dace