GRE数学练习题：求平面平行四边形ABCD的面积及解法疑问

嘿，我来帮你把这道题弄明白，顺便把你纠结的那个三角形面积公式讲透～

第一步：算出平行四边形ABCD的面积 #

平行四边形的面积有两种好上手的计算方式，我们一步步来：

方法1：向量叉乘直接计算 #

平行四边形的面积等于相邻边向量叉乘的绝对值。先确定相邻边的向量：

• 点A是(0,0)，点B是(-3,-4)，所以向量AB = B - A = (-3, -4)
• 因为ABCD是平行四边形，向量AD和向量BC平行且相等。点B(-3,-4)、点C(-7,-7)，所以向量BC = C - B = (-7 - (-3), -7 - (-4)) = (-4, -3)，也就是向量AD = (-4, -3)

二维平面里，两个向量$\vec{u}=(u_1,u_2)$和$\vec{v}=(v_1,v_2)$叉乘的绝对值公式是：
|u₁v₂ - u₂v₁|

代入向量AB和AD的数值：
|(-3)*(-3) - (-4)*(-4)| = |9 - 16| = |-7| = 7
所以平行四边形ABCD的面积是7。

方法2：利用三角形面积的2倍计算 #

平行四边形的任意一条对角线会把它分成两个面积相等的三角形，比如对角线AC分出来的△ABC，平行四边形面积就是△ABC面积的2倍。

这里用到你疑惑的公式的扩展版：任意三点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$组成的三角形面积公式是：
(1/2)|x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)|

代入A(0,0)、B(-3,-4)、C(-7,-7)的坐标：
(1/2)|0*(-4 - (-7)) + (-3)*(-7 - 0) + (-7)*(0 - (-4))|
计算内部数值：
0 + 21 - 28 = -7
取绝对值再乘1/2，得到△ABC的面积是3.5，那平行四边形面积就是2*3.5 = 7，和方法1结果一致。

解答你的疑惑：原点顶点的三角形面积公式 #

你提到的“若三角形一个顶点在原点，另外两个顶点为$(a,b)$、$(c,d)$，则三角形的面积”——这个公式是**(1/2)|ad - bc|**，逻辑很直观：

• 这两个顶点对应的向量是$\vec{u}=(a,b)$和$\vec{v}=(c,d)$，以它们为邻边的平行四边形面积就是叉乘的绝对值|ad - bc|（这是二维叉乘的几何意义）。
• 而三角形的面积是对应平行四边形面积的一半，所以就有了这个公式。

比如这道题里，通过平行四边形性质可以算出D点坐标是(-4,-3)，△ABD的三个点是A(0,0)、B(-3,-4)、D(-4,-3)，代入公式：
(1/2)|(-3)*(-3) - (-4)*(-4)| = (1/2)|9-16| = 3.5，平行四边形面积就是2×3.5=7，完全说得通。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者OGC