乘积度量空间完备性的等价性证明：基于因子空间完备性

先明确核心问题：给定两个度量空间$(X_1, \rho_1)$和$(X_2, \rho_2)$，在乘积空间$X_1 \times X_2$上定义度量$\rho(x,y) = \rho_1(x_1,y_1) + \rho_2(x_2,y_2)$（其中$x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2)$），我们要证明：$(X_1\times X_2, \rho)$是完备度量空间当且仅当$(X_1, \rho_1)$和$(X_2, \rho_2)$均为完备度量空间。

充分性方向：因子空间完备 ⇒ 乘积空间完备 #

假设$(X_1, \rho_1)$和$(X_2, \rho_2)$都是完备度量空间，我们从乘积空间的柯西序列入手推导：

步骤1：拆分柯西序列到因子空间 #

设${x_n} = {(x_n^{(1)}, x_n^{(2)})}$是$(X_1\times X_2, \rho)$中的任意柯西序列。根据柯西序列的定义：

对任意$\epsilon > 0$，存在正整数$N$，当$n,m > N$时，$\rho(x_n, x_m) < \epsilon$

结合乘积度量的定义$\rho(x_n, x_m) = \rho_1(x_n^{(1)}, x_m^{(1)}) + \rho_2(x_n^{(2)}, x_m^{(2)})$，显然有：

• $\rho_1(x_n^{(1)}, x_m^{(1)}) \leq \rho(x_n, x_m) < \epsilon$，对所有$n,m > N$成立
• $\rho_2(x_n^{(2)}, x_m^{(2)}) \leq \rho(x_n, x_m) < \epsilon$，对所有$n,m > N$成立

这就说明${x_n^{(1)}}$是$(X_1, \rho_1)$中的柯西序列，${x_n^{(2)}}$是$(X_2, \rho_2)$中的柯西序列。

步骤2：利用因子完备性得到极限 #

因为$(X_1, \rho_1)$和$(X_2, \rho_2)$完备，所以：

• 存在$x^{(1)} \in X_1$，使得$\lim_{n\to\infty} \rho_1(x_n^{(1)}, x^{(1)}) = 0$
• 存在$x^{(2)} \in X_2$，使得$\lim_{n\to\infty} \rho_2(x_n^{(2)}, x^{(2)}) = 0$

令$x = (x^{(1)}, x^{(2)}) \in X_1 \times X_2$，接下来只需证明${x_n}$在乘积空间中收敛到$x$。

步骤3：验证乘积序列的收敛性 #

对任意$\epsilon > 0$，取$\epsilon/2$分别应用到两个因子序列的收敛性：

• 存在$N_1$，当$n > N_1$时，$\rho_1(x_n^{(1)}, x^{(1)}) < \epsilon/2$
• 存在$N_2$，当$n > N_2$时，$\rho_2(x_n^{(2)}, x^{(2)}) < \epsilon/2$

取$N = \max(N_1, N_2)$，当$n > N$时：
$$
\rho(x_n, x) = \rho_1(x_n^{(1)}, x^{(1)}) + \rho_2(x_n^{(2)}, x^{(2)}) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon
$$

这说明$\lim_{n\to\infty} \rho(x_n, x) = 0$，即${x_n}$在$(X_1\times X_2, \rho)$中收敛。因此乘积空间完备。

必要性方向：乘积空间完备 ⇒ 因子空间完备 #

假设$(X_1\times X_2, \rho)$是完备度量空间，我们以$X_1$为例证明其完备性：

任取$(X_1, \rho_1)$中的柯西序列${x_n^{{(1)}}$，固定某个$x_0}{(2)} \in X_2$，构造乘积空间中的序列${(x_n^{(1)}, x_0^{(2)})}$。

根据乘积度量的定义，$\rho((x_n^{(1)},x_0{(2)}), (x_m^{(1)},x_0{(2)})) = \rho_1(x_n^{(1)},x_m{(1)})$，因此这个序列是乘积空间中的柯西序列。

由于乘积空间完备，该序列收敛到某个$(x^{(1)}, x_0^{(2)}) \in X_1\times X_2$，显然${x_n^{{(1)}}$收敛到$x}{(1)}$，所以$(X_1, \rho_1)$完备。同理可证$(X_2, \rho_2)$完备。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者janusz