欧氏圆盘内过定点K的最短弦判定及求证问题

嘿，你的直觉完全正确！过点K的最短弦确实是垂直于过K的直径的那条。我来帮你把推导补完，把这个结论彻底理清楚～

用几何关系直接推导 #

我们先设定几个基础量：设圆盘圆心为O，半径为R，点K到圆心O的距离为(d)（显然(0 \leq d < R)）。

回忆弦长的核心公式：对于任意一条弦，它的长度(L = 2\sqrt{R^2 - h^2})，其中(h)是圆心O到这条弦的距离。从这个公式能直接看出来：弦长(L)和圆心到弦的距离(h)成反比——(h)越大，(L)就越小。

那问题就转化为：过点K的所有弦中，圆心O到弦的距离(h)最大能到多少？

根据几何中的垂线最短原理：点O到过K的直线的距离(h)，永远不会超过线段OK的长度(d)（因为OK是点O到点K的线段，而直线过K，所以O到直线的距离最多就是OK的长度，当且仅当直线垂直于OK时，这个距离刚好等于(d)）。

把(h=d)代入弦长公式，就能得到最短弦长：
[
L_{\text{min}} = 2\sqrt{R^2 - d^2}
]
而此时这条弦正好垂直于过K的直径（因为OK就是直径的一部分，弦垂直于OK，也就是垂直于这条直径）。

结合你用的夹角公式补全推导 #

你之前用的弦长公式(L=2R \sin(A/2))（(A)是弦两端点的半径夹角）也能得到同样结论：

我们知道圆心到弦的距离(h = R \cos(A/2))，所以(\cos(A/2) = h/R)。当(h)最大时（也就是(h=d)），(\cos(A/2))取到最大值(d/R)，对应的(A/2)最小，也就是(A)最小——这和你之前得到的“弦长最短时A最小”的结论完全契合。

把(\sin(A/2) = \sqrt{1 - \cos^2(A/2)} = \sqrt{1 - (d/R)^2})代入公式，就能算出：
[
L=2R \cdot \sqrt{1 - (d/R)^2} = 2\sqrt{R^2 - d^2}
]
和之前的结果一致，完美验证了你的直觉。

特殊情况补充 #

如果K正好是圆心（(d=0)），那么所有弦的长度都是(2R)（也就是直径），此时不存在“最短弦”——这也符合我们的公式，代入后(L_{\text{min}}=2R)，和所有弦长相等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Юрій Ярош