关于求$$Y[z]=rac{2-z^{-2}}{(1-.5z^{-1})(1-.2z^{-1})}$$逆Z变换的技术求助

Got it, let's work through this inverse Z-transform step by step using partial fractions—since that's the approach you're trying. I'll break it down so you can see where you might have gotten stuck.

步骤1：拆分原式，简化部分分式分解 #

首先，我们可以把原式拆成两个更容易处理的项，这样就能聚焦于标准形式的部分分式分解：
$$Y(z) = 2 \cdot \frac{1}{(1-0.5z^{-1})(1-0.2z{-1})} - z^{-2} \cdot \frac{1}{(1-0.5z^{-1})(1-0.2z{-1})}$$

先处理核心部分：$\frac{1}{(1-0.5z^{-1})(1-0.2z{-1})}$。设它可以分解为：
$$\frac{1}{(1-0.5z^{-1})(1-0.2z{-1})} = \frac{A}{1-0.5z^{-1}} + \frac{B}{1-0.2z^{-1}}$$

通分后让分子相等：
$$1 = A(1-0.2z^{-1}) + B(1-0.5z^{-1})$$

整理成$z^{-1}$的多项式形式，对比系数得到方程组：

• 常数项：$A + B = 1$
• $z^{-1}$项：$-0.2A - 0.5B = 0$

解这个方程组：从第一个方程得$A=1-B$，代入第二个方程：
$$0.2(1-B) + 0.5B = 0 \implies 0.2 + 0.3B = 0 \implies B = -\frac{2}{3}$$
进而得到$A = 1 - (-\frac{2}{3}) = \frac{5}{3}$

所以分解结果是：
$$\frac{1}{(1-0.5z^{-1})(1-0.2z{-1})} = \frac{5/3}{1-0.5z^{-1}} - \frac{2/3}{1-0.2z^{-1}}$$

步骤2：代入原式展开$Y(z)$ #

把分解结果代回原式，展开后得到：
$$
\begin{align*}
Y(z) &= 2\left(\frac{5/3}{1-0.5z^{-1}} - \frac{2/3}{1-0.2z^{-1}}\right) - z^{{-2}\left(\frac{5/3}{1-0.5z}{-1}} - \frac{2/3}{1-0.2z^{-1}}\right) \
&= \frac{10/3}{1-0.5z^{-1}} - \frac{4/3}{1-0.2z^{-1}} - \frac{5/3 \cdot z^{-2}}{1-0.5z{-1}} + \frac{2/3 \cdot z^{-2}}{1-0.2z{-1}}
\end{align*}
$$

步骤3：应用逆Z变换规则 #

我们用两个核心的逆Z变换规则（假设收敛域为$|z| > 0.5$，对应因果序列，即$n < 0$时$y[n]=0$）：

1. $\mathcal{Z}^{{-1}\left{\frac{1}{1-az}{-1}}\right} = a^n u[n]$，其中$u[n]$是单位阶跃序列
2. $\mathcal{Z}^{-1}\left{z{-k}X(z)\right} = x[n-k]u[n-k]$，即延迟性质

逐个计算每一项的逆Z变换：

• $\mathcal{Z}^{{-1}\left{\frac{10/3}{1-0.5z}{-1}}\right} = \frac{10}{3}(0.5)^n u[n]$
• $\mathcal{Z}^{{-1}\left{-\frac{4/3}{1-0.2z}{-1}}\right} = -\frac{4}{3}(0.2)^n u[n]$
• $\mathcal{Z}^{-1}\left{-\frac{5/3 \cdot z^{-2}}{1-0.5z{-1}}\right} = -\frac{5}{3}(0.5)^{n-2} u[n-2]$
• $\mathcal{Z}^{-1}\left{\frac{2/3 \cdot z^{-2}}{1-0.2z{-1}}\right} = \frac{2}{3}(0.2)^{n-2} u[n-2]$

步骤4：合并化简结果 #

把这些项加起来，分情况写出$y[n]$会更直观：

当$n=0$时： #

$u[0]=1$，$u[-2]=0$，所以：
$$y[0] = \frac{10}{3}(1) - \frac{4}{3}(1) = 2$$

当$n=1$时： #

$u[1]=1$，$u[-1]=0$，所以：
$$y[1] = \frac{10}{3}(0.5) - \frac{4}{3}(0.2) = \frac{5}{3} - \frac{0.8}{3} = 1.4 = \frac{7}{5}$$

当$n \geq 2$时： #

$u[n]=1$，$u[n-2]=1$，我们把$(0.5)^{{n-2}$和$(0.2)}{n-2}$转化为$(0.5)^n$和$(0.2)n$的形式（$(0.5)^{n-2}=4(0.5)n$，$(0.2)^{{n-2}=25(0.2)}n$），再合并同类项：
$$
\begin{align*}
y[n] &= \frac{10}{3}(0.5)^n - \frac{4}{3}(0.2)^n - \frac{5}{3} \cdot 4(0.5)^n + \frac{2}{3} \cdot 25(0.2)^n \
&= -\frac{10}{3}(0.5)^n + \frac{46}{3}(0.2)^n
\end{align*}
$$

你也可以用阶跃函数写成统一形式：
$$
y[n] = \frac{10}{3}(0.5)^n u[n] - \frac{4}{3}(0.2)^n u[n] - \frac{5}{3}(0.5)^{n-2} u[n-2] + \frac{2}{3}(0.2)^{n-2} u[n-2]
$$

验证结果 #

把$Y(z)$展开成幂级数，前几项为$2 + 1.4z^{-1} - 0.22z^{-2} - 0.294z^{-3} + ...$，和我们计算的$y[0], y[1], y[2]$完全匹配，说明结果正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alex