椭圆曲线上微分的无穷远点：正则性与极点阶数验证问询

要验证椭圆曲线无穷远点处微分形式的正则性和极点阶数，最直接的方法是用局部参数化来分析——毕竟无穷远点在仿射坐标下没法直接处理，得转到射影空间的局部坐标里拆解。

首先先处理椭圆曲线的无穷远点：我们把椭圆曲线写成射影形式$Y^2 Z = X^3 + a X Z^2 + b Z^3$，无穷远点$O$对应$Z=0$，此时$X=0$、$Y≠0$。我们取仿射开集$Y≠0$，引入局部坐标$u = \frac{X}{Y}$，$v = \frac{Z}{Y}$，代入射影方程可得：
$$v = u^3 + a u v^2 + b v^3$$
根据隐函数定理，$v$可以展开为$u$的幂级数：$v = u^3 + O(u^7)$（高阶小量不影响我们的阶数分析）。而原来的仿射坐标$x = \frac{X}{Z} = \frac{u}{v}$，$y = \frac{Y}{Z} = \frac{1}{v}$，接下来就用这个局部坐标来转化微分形式。

验证$\omega = \frac{dx}{y}$在无穷远点正则 #

先把$\omega$转化为局部坐标$u$的形式：

• 计算$dx$：$dx = d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v du - u dv}{v^2}$
• 因为$y = \frac{1}{v}$，所以$\omega = \frac{dx}{y} = \frac{v du - u dv}{v^2} \cdot v = \frac{v du - u dv}{v} = du - \frac{u}{v} dv$

代入$v = u^3 + O(u^7)$和$dv = 3u^2 du + O(u^6) du$：

• $\frac{u}{v} = \frac{u}{u^3(1 + O(u^4))} = \frac{1}{u^2}(1 - O(u^4))$
• $\frac{u}{v} dv = \frac{1}{u^2}(1 - O(u^4)) \cdot (3u^2 du + O(u^6) du) = 3 du + O(u^4) du$

代入回$\omega$的表达式：
$$\omega = du - (3 du + O(u^4) du) = -2 du + O(u^4) du = (-2 + O(u^4)) du$$

这里局部参数是$u$，$\omega$可以表示为「局部参数的微分 × 在$u=0$处正则且非零的函数」（$-2 + O(u^4)$在$u=0$时取值为-2≠0），所以$\omega$在无穷远点$O$处是正则微分形式，验证完毕。

另外用$\omega = \frac{2 dy}{P'(x)}$也能得到同样结果：$P'(x)=3x^2+a$，$dy = -\frac{dv}{v^2}$，代入后化简最终也会得到$(-2 + O(u^4)) du$，这里就不展开重复计算了。

验证$x\omega$在无穷远点有二重极点 #

先写出$x$在局部坐标下的表达式：$x = \frac{u}{v} = \frac{1}{u^2}(1 - O(u^4))$，结合刚才得到的$\omega = (-2 + O(u^4)) du$，相乘可得：
$$x\omega = \frac{1}{u^2}(1 - O(u^4)) \cdot (-2 + O(u^4)) du = \frac{-2 + O(u^4)}{u2} du$$

对于局部参数$u$，微分形式若能写成$\frac{f(u)}{u^k} du$（其中$f(u)$在$u=0$处正则且$f(0)≠0$），则极点阶数为$k$。这里$f(u) = -2 + O(u^4)$，$f(0)=-2≠0$，$k=2$，所以$x\omega$在无穷远点处确实有二重极点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者usr0192