技术问询：各类博弈中玩家针对其他玩家混合策略是否始终有纯最优响应策略

嘿，咱们来把这两个博弈论问题拆解清楚，用直白的话给你讲明白：

答案是是的——不管其他玩家采用纯策略还是混合策略，你总能找到至少一个纯策略作为最优响应。

原因很简单：混合策略的期望收益本质上是你所有纯策略期望收益的加权平均。打个比方，假设你有三个纯策略，它们的期望收益分别是3、5、4，那不管你怎么加权混合，最终的期望收益最高也只能到5，也就是对应那个收益为5的纯策略。哪怕所有纯策略的期望收益都一样（比如石头剪刀布中对手均匀随机出），那所有纯策略都是最优响应，自然也存在纯最优响应。

答案同样是是的，这其实是第一个问题的子集情况。

刚才说过，混合策略的期望收益是纯策略收益的加权平均，所以最优的期望收益必然能被某个纯策略达到。举个具体例子：
假设你在玩一个简化的博弈，对手用混合策略：60%选策略A，40%选策略B。你的纯策略X对抗A的收益是2，对抗B是0；纯策略Y对抗A是0，对抗B是3。那你的期望收益：选X是20.6 + 00.4=1.2；选Y是00.6 +30.4=1.2。这时候两个纯策略都是最优响应。如果对手调整混合比例为70%A、30%B，那X的期望是1.4，Y是0.9，这时候X就是唯一的纯最优响应。

换句话说，不存在任何场景，当对手用混合策略时，你只能靠混合策略才能拿到最高期望收益——总有至少一个纯策略能做到同样好甚至更好。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Reza_va