关于求证$( \mathbb Z ^x _n , \odot)$是群的疑问：符号与gcd条件解析

嘿，我来帮你拆解这个问题里的疑惑，一步步来哈～

1. 先搞懂符号$\odot$的含义 #

这个符号其实就是模n的乘法运算，专门用来定义等价类之间的乘法：对于$\mathbb{Z}_n$里的两个等价类$[a]$和$[b]$，它们的$\odot$运算结果就是$[a \times b \mod n]$，也可以直接写成$[ab]$（因为整数相乘后再模n，结果肯定落在同一个等价类里）。

举个直观的例子：当n=5时，$\mathbb{Z}_5^\times = {[1],[2],[3],[4]}$，那$[2] \odot [3] = [2\times3] = [6] = [1]$（因为6模5余1），是不是就清楚多了？

2. 为什么要限定$\gcd(x,n)=1$？ #

这个条件是整个集合能构成群的核心，主要有两个原因：

• 保证每个元素都有逆元：群的定义要求每个元素都存在逆元（也就是能找到另一个元素，两者运算后得到单位元）。如果$\gcd(x,n) = d > 1$，那不管你找哪个$y$，$xy$都会是d的倍数，模n之后结果也一定是d的倍数，永远不可能等于1（因为1不是d的倍数），这样[x]就没有逆元，不符合群的要求。反过来，如果$\gcd(x,n)=1$，根据贝祖定理，一定存在整数s和t，使得$sx + tn = 1$，把这个式子模n之后就得到$sx \equiv 1 \mod n$，对应的等价类[s]就是[x]的逆元啦。
• 保证运算封闭性：如果[a]和[b]都属于$\mathbb{Z}_n^{\times$（也就是gcd(a,n)=1，gcd(b,n)=1），那ab和n也一定互质（因为a和n没有公共质因子，b和n也没有，相乘之后自然也没有），所以[ab]也属于$\mathbb{Z}_n}\times$，这样运算后的结果不会跑出这个集合。

3. 快速确认这确实是个群 #

群需要满足4个核心条件，我们对应着过一遍：

• 封闭性：刚才已经解释过，互质元素的乘积依然和n互质，结果在集合内。
• 结合律：模n乘法的结合律和整数乘法一致，$(ab)c \equiv a(bc) \mod n$，所以等价类的运算也满足结合律。
• 单位元：等价类[1]就是单位元，因为gcd(1,n)=1，属于$\mathbb{Z}_n^\times$，而且对任意[x]，都有$[1] \odot [x] = [x] \odot [1] = [x]$。
• 逆元：通过贝祖定理已经证明，每个[x]都存在对应的逆元[s]，满足$[x] \odot [s] = [1]$。

这样四个条件都满足，所以$(\mathbb{Z}_n^\times, \odot)$确实是一个群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者janedoe1234