仿射簇间双射态射是否为同构？及拉回满射等价命题求证与修正

第一个问题：仿射簇之间的双射态射是否为同构？ #

答案是不一定。最经典的反例就是尖点曲线的情况：

• 取$X=\mathbb{A}^{1$（一维仿射空间），$Y$是平面上的尖点曲线$y}2=x^3$，定义态射$f:X\to Y$为$f(t)=(t^2,t3)$。
• 这个态射是双射：每个$(x,y)\in Y$都对应唯一的$t$（当$x\neq0$时$t=y/x$，$x=0$时$t=0$），但它不是同构——因为坐标环A(Y)=k[x,y]/(y^2-x^3)，拉回$f^{*$把$x$映射到$t}2$，$y$映射到$t^{3$，显然$t$不在$f}$的像里，所以$f^$不是满射，而仿射簇同构等价于坐标环同构，所以$f$不可能是同构。

关于你尝试证明的命题 #

你原本想证的命题是：

设$X,Y$为不可约仿射簇，态射$f:X\to Y$。拉回$f^*:A(Y)\to A(X)$是满射 $\Leftrightarrow$ $f$是单射且$f(X)\subset Y$是闭集。

正如@MooS指出的，这个命题是不成立的——逆方向（$\Leftarrow$）不对，刚才的尖点曲线例子就是反例：$f$是双射（自然是单射，且像就是整个$Y$，闭集），但$f^*$不是满射。

不过你已经证明的$(\Rightarrow)$方向是对的，咱们再梳理一遍这个逻辑：

• 首先，对于仿射簇的态射$f:X\to Y$，我们有坐标环的对应关系：A(overline{f(X)})≃A(Y)/ker(f^*)，这是因为闭子集$\overline{f(X)}$的理想就是$\ker(f^*)$（拉回把在$f(X)$上vanish的函数映为0）。
• 因为$f^*$是满射，根据同态基本定理，A(Y)/ker(f^*)≃im(f^*)=A(X)，所以A(overline{f(X)})≃A(X)。
• 对于不可约仿射簇而言，坐标环同构意味着簇本身是同构的（仿射簇的范畴与有限生成整$k$-代数的范畴对偶等价），所以$f$诱导了$X$到$\overline{f(X)}$的同构。
• 既然是同构，那$f$必然是单射（同构都是单射），而且同构的像一定是闭集（仿射簇的同构是双射且保持闭集），所以$\overline{f(X)}=f(X)$，也就是$f(X)$是$Y$的闭集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rmdmc89