求证：群同态f为单射时其核K必等于{ e_G }

嘿，咱们来把这个群论里的经典命题证明理清楚，用清晰的Markdown格式呈现出来：

命题：若$f:G\to H$是核为$K$的群同态，则$f$是单射当且仅当$K={e_G}$。

1. 正向推导：$K={e_G} \implies f$是单射 #

这个方向的证明确实很直接：
假设对于$a,b\in G$，有$f(a)=f(b)$。因为$f$是群同态，根据同态的性质：
$$f(ab^{-1}) = f(a)f(b^{-1}) = f(a)(f(b))^{-1}$$
代入$f(a)=f(b)$，右边就等于$f(a)(f(a))^{{-1}=e_H$，所以$ab}{-1}\in K$。
而题目给出$K={e_G}$，所以$ab^{-1}=e_G$，也就是$a=b$。根据单射的定义，$f$是单射。

2. 逆向推导：$f$是单射 $\implies K={e_G}$ #

咱们用反证法来完成这个证明：

假设$f$是单射但$K \ne { e_{G} }$。

首先回忆核的定义：$K = {g \in G \mid f(g) = e_H}$。我们知道$e_G \in K$，因为群同态必然满足$f(e_G)=e_H$，所以$K$肯定是非空的。既然$K\ne{e_G}$，那就一定存在某个元素$x \in G\setminus { e_G }$，使得$f(x)=e_H$。

但这里就出现矛盾了：我们已经知道$f(e_G)=e_H$，所以$f(x)=f(e_G)$。而$f$是单射，根据单射的定义——只要两个元素的像相等，这两个元素本身就必须相等——那应该有$x=e_G$，但这和我们刚才假设的$x\in G\setminus{e_G}$完全冲突。

这说明最开始的假设不成立，因此当$f$是单射时，$K$只能是${e_G}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ash