KerT闭性与T连续性等价性的反例探究（ℝ→ℝ²）

你提到已经证明了：当线性映射 ( T:(X,|\cdot|) \to (\mathbb{R},|\cdot|_E) ) 是赋范空间到实数域的线性映射时，( T ) 连续当且仅当 ( \text{Ker}T ) 是 ( X ) 的闭子集。现在想找反例说明，当目标空间换成 ( \mathbb{R}^2 )（装备标准欧氏范数）时，这个等价性不再成立，但实际情况需要分场景讨论：

定义域为有限维空间（如 ( \mathbb{R} )）时，无反例 #

如果严格限定定义域是 ( (\mathbb{R},|\cdot|_E) )（标准范数的实数轴），那么所有线性映射 ( T:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 ) 必然是连续的：

• 这类映射都可表示为 ( T(x) = x \cdot (a,b) )（( (a,b) \in \mathbb{R}^2 ) 为固定向量），满足 ( |T(x)-T(y)| = |x-y| \cdot |(a,b)| )，显然是Lipschitz连续的。
• 对应的核 ( \text{Ker}T )：若 ( (a,b) \neq (0,0) )，则 ( \text{Ker}T = {0} )（闭集）；若 ( (a,b) = (0,0) )，则 ( \text{Ker}T = \mathbb{R} )（闭集）。

因此在这个场景下，既不存在“KerT闭但T不连续”的情况，也不存在“T连续但KerT非闭”的情况——等价性仍然成立。

目标空间为无限维时，才能找到反例 #

等价性失效的真正场景是目标空间为无限维赋范空间的情况。比如我们构造如下反例：

反例：KerT闭但T不连续 #

设 ( X = \ell^\infty )（所有有界实数列构成的赋范空间，范数为 ( |x| = \sup_{n \in \mathbb{N}} |x_n| )），目标空间 ( Y = \ell^\infty )。利用Hamel基构造线性映射 ( T:X \to Y )：

1. 取 ( X ) 的一个Hamel基 ( B )，包含标准基 ( {e_n \mid n \in \mathbb{N}} )（其中 ( e_n ) 是第 ( n ) 项为1、其余项为0的序列）和其他基元素；
2. 定义 ( T(e_n) = n \cdot e_n ) 对所有 ( n \in \mathbb{N} )，对Hamel基中的其他元素 ( v )，定义 ( T(v) = v )；
3. 线性扩展 ( T ) 到整个 ( X )。

验证性质：

• KerT是闭集：T是单射（因为Hamel基元素在T下的像都是线性无关的），所以 ( \text{Ker}T = {0} )，而 ( {0} ) 是 ( \ell^\infty ) 中的闭集。
• T不连续：取标准基序列 ( e_n )，( |e_n| = 1 ) 对所有 ( n )，但 ( |T(e_n)| = |n e_n| = n \to \infty )，说明T不是有界线性映射，而赋范空间中线性映射连续等价于有界，因此T不连续。

注意：不存在“T连续但KerT非闭”的情况 #

需要明确的是，连续线性映射的核一定是闭集——因为核是连续映射下闭集 ( {0} ) 的原像，所以这个方向的反例在任何赋范空间之间的线性映射中都不可能出现。等价性失效的唯一方向是：KerT闭但T不连续，且仅当目标空间是无限维时才可能构造出这样的例子。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lloth