利用卷积与傅里叶变换计算积分求助

嘿，这最后一步其实很好打通，我们把手里的已知条件和傅里叶逆变换结合起来就行：

1. 先回顾你已有的结论：

   • 指示函数$f = 1_{[-1,1]}$的傅里叶变换：$\mathfrak{F}(f)(s) = \frac{2\sin s}{s}$
   • $f$的自卷积：$f*f(x) = 2 - |x|$
   • 卷积的傅里叶变换性质：$\mathfrak{F}(f*f) = [\mathfrak{F}(f)]^2$

2. 利用傅里叶逆变换的定义
   对于任意函数$g$，逆傅里叶变换的公式是：
   $$\mathfrak{F}^{-1}(g)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} g(s) e^{ixs} ds$$
   我们把$g = [\mathfrak{F}(f)]^{2$代入，根据卷积性质，$\mathfrak{F}}{-1}([\mathfrak{F}(f)]^2) = ff$，所以：
   $$ff(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \frac{2\sin s}{s} \right)^2 e^{ixs} ds$$

3. 代入$x=0$简化计算
   当$x=0$时，$e^{i0}=1$，左边的自卷积值可以直接代入你算的结果：$f*f(0) = 2 - |0| = 2$。把这个值代入上式：
   $$2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{4\sin^2 s}{s^2} ds$$

4. 整理等式求解目标积分
   先把常数项移项计算：
   $$2 \times 2\pi = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{4\sin^2 s}{s^2} ds$$
   也就是：
   $$4\pi = 4 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2 s}{s^2} ds$$
   两边同时除以4，就得到最终结果：
   $$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2} dx = \pi$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Deke