集合论证明求助：若AΔB=AΔC，如何严谨证明B⊆C？

嘿，你的思路完全找对了方向！分x∈A和x∉A两种情况讨论是证明这个命题的核心方法，我来帮你把这个过程补全，让逻辑链更清晰：

首先明确对称差的定义：

AΔB = (A - B) ∪ (B - A)，即元素属于A或B，但不同时属于两者。

我们的目标是：假设AΔB = AΔC，证明任意x∈B，都有x∈C（这是子集B⊆C的标准定义）。

分情况讨论 #

• 情况1：x∈A
  因为x∈B且x∈A，根据对称差的定义，x同时属于A和B，所以x∉AΔB。
  又因为已知AΔB = AΔC，所以x∉AΔC。
  现在x∈A且x∉AΔC，根据对称差的定义，若x∉AΔC，说明x不可能只属于A而不属于C（否则x会在A-C里，即属于AΔC），因此必然有x∈C。

• 情况2：x∉A
  因为x∈B且x∉A，所以x属于B - A，而B - A是AΔB的子集，因此x∈AΔB。
  由AΔB = AΔC可得x∈AΔC。
  现在x∉A，而AΔC是(A - C) ∪ (C - A)，x不可能属于A-C（因为x∉A），所以x只能属于C - A，这就意味着x∈C。

结论 #

无论x属于A还是不属于A，只要x∈B，就一定能推出x∈C。根据子集的定义，B⊆C得证。

（额外补充：其实用对称差的性质还能进一步推出B=C，因为同理可证C⊆B，不过你的问题只要求证明B⊆C，上面的过程已经足够严谨啦）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DavidM