求证G通过共轭诱导的作用在Hochschild-Serre谱序列上平凡

给定群扩张：
$$ 0 \rightarrow N \rightarrow G \rightarrow \frac{G}{N} \rightarrow 0 $$
咱们的目标是证明G通过共轭诱导的作用在Hochschild-Serre谱序列上是平凡的，下面结合Brown的结论来展开推导：

从G的共轭作用到链复形映射 #

对于任意G-模M，G可以通过共轭定义一个作用到自身和M上：对每个$g \in G$，对应映射对$(\phi_g, \alpha_g) : (G,M) \rightarrow (G,M)$，其中：

• $\phi_g(x) := gxg^{-1}$（这是G上的共轭自同构）
• $\alpha_g(m) := gm$（这是G在模M上的标准作用）

这个映射对会诱导出群同调标准Bar复形$C_*(G,M)$上的链映射：对于n-链$f: G^n \rightarrow M$，我们定义
$$ (\phi_g^*f)(x_1,...,x_n) = \alpha_g^{-1}(f(\phi_g(x_1),...,\phi_g(x_n))) $$

构造链同伦证明同调作用平凡 #

关键的一步是证明这个链映射和恒等链映射链同伦——这直接意味着它在同调层面诱导的是平凡映射。我们可以构造一个同伦算子$h_g: C_n(G,M) \rightarrow C_{n+1}(G,M)$：
$$
h_g(f)(x_1,...,x_{n+1}) = \sum_{i=0}^n (-1)^i g^i f(g^{-i}x_1gi,...,g^{-i}x_igi, g^{{-i}x_{i+1}...x_{n+1}g}i)
$$
这里规定$g^0=1$。你可以手动验证：$\partial h_g + h_g \partial = \text{id} - \phi_g^{*$，这说明$\phi_g}*$在群同调层面和恒等映射同伦，进一步，当我们限制到正规子群N的复形时，这个同伦算子同样适用，因此g通过共轭在$H^q(N,M)$上诱导的作用是平凡的。

联系到Hochschild-Serre谱序列 #

Hochschild-Serre谱序列的$E_2$项是$E_2^{p,q} = H^p(G/N, H^q(N,M))$，现在看G的共轭作用对这个谱序列的影响：

• 对于$\overline{g}=gN \in G/N$，它在$H^q(N,M)$上的作用就是g通过共轭诱导的作用，而我们已经证明这个作用是平凡的
• 谱序列的微分和边缘同态都是群同调中的自然映射，共轭作用和这些映射是交换的，所以从$E_2$页开始，所有页上的共轭作用都是平凡的
• 谱序列的极限是$H^*(G,M)$，而共轭作用在极限上的作用也自然是平凡的，因为它在每一页都保持平凡性

关键总结 #

• 链同伦的构造是核心，它直接证明了G的共轭作用在$H^q(N,M)$上诱导平凡映射
• 谱序列的自然性保证了作用在所有页上的一致性，从而整个谱序列上的共轭作用都是平凡的

内容的提问来源于stack exchange，提问作者marineabcd