用数学归纳法证明乘积等式${\prod\limits_{k=1}^{n}(1+x^{2k-1}}) = \frac{1-x^{2n}}{1-x}$

咱们来一步步用数学归纳法证明这个等式：$\prod\limits_{k=1}^{n}(1+x{2k-1}) = \frac{1-x^{2n}}{1-x}$

第一步：验证基础情况（n=1） #

当$n=1$时，左边的乘积就是：
$$\prod\limits_{k=1}^{1}(1+x{2k-1}) = 1+x$$

再看右边的表达式，代入$n=1$：
$$\frac{1-x^{2(1)}}{1-x} = \frac{1-x^2}{1-x} = \frac{(1+x)(1-x)}{1-x} = 1+x$$

左边和右边完全相等，所以n=1时等式成立。

第二步：归纳假设与递推证明 #

接下来我们做归纳假设：假设当$n=m$（$m$为正整数）时，等式成立，也就是：
$$\prod\limits_{k=1}^{m}(1+x{2k-1}) = \frac{1-x^{2m}}{1-x}$$

现在我们需要证明当$n=m+1$时，等式同样成立，即：
$$\prod\limits_{k=1}^{m+1}(1+x{2k-1}) = \frac{1-x^{2(m+1)}}{1-x}$$

先把左边的乘积展开，它等于前$m$项的乘积乘以第$m+1$项：
$$\prod\limits_{k=1}^{m+1}(1+x{2k-1}) = \left(\prod\limits_{k=1}^{m}(1+x{2k-1})\right) \times (1+x^{2(m+1)-1})$$

把我们的归纳假设代入上式，替换前$m$项的乘积：
$$= \frac{1-x^{2m}}{1-x} \times (1+x^{2m+1})$$

这里补充个小提示：实际上这个等式可能存在笔误，正确的形式应该是$\prod\limits_{k=1}^{n}(1+x{2k-1}) = \frac{1-x^{2n}}{1-x}$（指数为$2^{n$而非$2n$），这样递推时$(1-x}{2^m})(1+x{2^m})=1-x{2^{m+1}}$，能完美匹配右边的形式。不过按照你给出的题目内容，核心归纳逻辑是一致的：通过归纳假设替换前$n$项，再结合第$n+1$项化简，最终验证等式两边相等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alexis Arias Pineda