求$\mathbb{Q}$上多项式$(x^5-3)(x^5-7)$的分裂域次数与伽罗瓦群

我来一步步帮你拆解这个问题，先从分裂域的构造和次数计算说起，再推导伽罗瓦群的结构。

一、分裂域次数计算 #

首先，我们明确几个基础结论：

• $x^5-3$和$x5-7$都是$\mathbb{Q}[x]$中的不可约多项式，直接用Eisenstein判别法就能验证：取素数5，5整除常数项-3、-7，$5^2$不整除这两个常数项，首项系数1不被5整除，满足不可约条件。
• 这两个五次多项式的分裂域分别是$\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}, \zeta_5)$和$\mathbb{Q}(\sqrt[5]{7}, \zeta_5)$，其中$\zeta_5$是5次本原单位根（即$\zeta_5^{5=1$，且对$1≤k≤4$，$\zeta_5}k≠1$）。

$f(x)$的分裂域$K$是这两个分裂域的复合域，也就是：
$$K=\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}, \sqrt[5]{7}, \zeta_5)$$

接下来分步计算$[K:\mathbb{Q}]$：

1. 计算$[\mathbb{Q}(\zeta_5):\mathbb{Q}]$
   5次分圆多项式$\Phi_5(x)=x^4+x3+x^2+x+1$在$\mathbb{Q}[x]$中不可约，因此这个扩张的次数是欧拉函数$\varphi(5)=4$。

2. 计算$[\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}, \zeta_5):\mathbb{Q}]$
   假设$x^{5-3$在$\mathbb{Q}(\zeta_5)$上可约，那么它必有一次因式，意味着$\sqrt[5]{3}∈\mathbb{Q}(\zeta_5)$。但$\mathbb{Q}(\zeta_5)$在$\mathbb{Q}$上的次数是4，$\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3})$在$\mathbb{Q}$上的次数是5，4和5互素，不可能存在这样的包含关系，因此$x}5-3$在$\mathbb{Q}(\zeta_5)$上不可约，次数为5。
   由此可得：
   $$[\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}, \zeta_5):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\zeta_5):\mathbb{Q}]×[\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}, \zeta_5):\mathbb{Q}(\zeta_5)]=4×5=20$$

3. 计算$[K:\mathbb{Q}]$
   现在需要看$\sqrt[5]{7}$是否在$\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}, \zeta_5)$中。假设$\sqrt[5]{7}∈\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}, \zeta_5)$，取该域上的伽罗瓦自同构$\sigma$，满足$\sigma(\sqrt[5]{3})=\zeta_5\sqrt[5]{3}$，$\sigma(\zeta_5)=\zeta_5$。那么$\sigma(\sqrt[5]{7})$必须是$\sqrt[5]{7}$乘以某个5次单位根，但将$\sqrt[5]{7}$展开为$\mathbb{Q}(\zeta_5)$上$\sqrt[5]{3}$的线性组合后，通过系数对比会发现所有系数必须为0，矛盾。因此$x^5-7$在$\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}, \zeta_5)$上不可约，次数为5。
   最终：
   $$[K:\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}, \zeta_5):\mathbb{Q}]×[K:\mathbb{Q}(\sqrt[5]{3}, \zeta_5)]=20×5=100$$

二、伽罗瓦群的确定 #

根据伽罗瓦理论基本定理，$\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$的阶等于分裂域次数100。我们可以通过构造生成元来描述这个群的结构：

生成元定义 #

• $\sigma$：满足$\sigma(\sqrt[5]{3})=\zeta_5\sqrt[5]{3}$，$\sigma(\sqrt[5]{7})=\sqrt[5]{7}$，$\sigma(\zeta_5)=\zeta_5$，阶为5（因为$\sigma^{5(\sqrt[5]{3})=\zeta_5}5\sqrt[5]{3}=\sqrt[5]{3}$）。
• $\tau$：满足$\tau(\sqrt[5]{3})=\sqrt[5]{3}$，$\tau(\sqrt[5]{7})=\zeta_5\sqrt[5]{7}$，$\tau(\zeta_5)=\zeta_5$，阶为5。
• $\rho$：满足$\rho(\zeta_5)=\zeta_5^{2$，$\rho(\sqrt[5]{3})=\sqrt[5]{3}$，$\rho(\sqrt[5]{7})=\sqrt[5]{7}$，阶为4（因为$\rho}4(\zeta_5)=\zeta_5^{24}=\zeta_5^{16}=\zeta_51=\zeta_5$）。

生成元之间的关系 #

• $\sigma$和$\tau$是交换的：$\sigma\tau=\tau\sigma$，它们共同生成一个$C_5×C_5$的阿贝尔子群（阶为25）。
• $\rho$与$\sigma$、$\tau$的半直积关系：
  • $\rho\sigma=\sigma^{2\rho$（因为$\rho(\zeta_5)=\zeta_5}2$，所以$\rho\sigma(\sqrt[5]{3})=\rho(\zeta_5\sqrt[5]{3})=\zeta_5^{2\sqrt[5]{3}=\sigma}2(\sqrt[5]{3})=\sigma^2\rho(\sqrt[5]{3})$）。
  • 同理，$\rho\tau=\tau^2\rho$。

综上，$\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$是半直积$(C_5×C_5)⋊C_4$，其中$C_4$的生成元$\rho$对$C_5×C_5$的作用是将$(\sigma,\tau)$映射为$(\sigma^2,\tau2)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dave