技术问询：计算limₓ→2(⌊x⌋+⌊-x⌋)的极限（若存在）

首先，我们明确取整函数$\lfloor y \rfloor$的定义：它表示不大于$y$的最大整数（即向下取整）。接下来我们分别计算$x \to 2$时的左极限和右极限，再判断原极限是否存在：

1. 计算左极限 $\boldsymbol{\lim_{x \to 2^-} (\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor)}$ #

当$x$从左侧趋近于2时，$x$满足$1 < x < 2$：

• 对于$\lfloor x \rfloor$，不大于$x$的最大整数是1，因此$\lfloor x \rfloor = 1$；
• 对于$\lfloor -x \rfloor$，此时$-2 < -x < -1$，不大于$-x$的最大整数是-2，因此$\lfloor -x \rfloor = -2$。

代入计算得：
$\lim_{x \to 2^-} (\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor) = 1 + (-2) = -1$

2. 计算右极限 $\boldsymbol{\lim_{x \to 2^+} (\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor)}$ #

当$x$从右侧趋近于2时，$x$满足$2 < x < 3$：

• 对于$\lfloor x \rfloor$，不大于$x$的最大整数是2，因此$\lfloor x \rfloor = 2$；
• 对于$\lfloor -x \rfloor$，此时$-3 < -x < -2$，不大于$-x$的最大整数是-3，因此$\lfloor -x \rfloor = -3$。

代入计算得：
$\lim_{x \to 2^+} (\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor) = 2 + (-3) = -1$

3. 极限存在性判断 #

因为左极限$\lim_{x \to 2^-} f(x) = -1$，右极限$\lim_{x \to 2^+} f(x) = -1$，左右极限相等且为有限值，所以原极限存在，即：
$$\lim_{x\rightarrow2}(\lfloor x\rfloor +\left\lfloor -x\right\rfloor) = -1$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者pabhp