数论趣味问题：两铃铛15分钟内可感知敲击次数求解

该问题出自Albert Beiler所著《数论中的趣味问题》（Recreations in the theory of numbers）

问题描述 #

现有两个铃铛$B_1$、$B_2$：

• $B_1$每$\frac{4}{3}$秒鸣响一次
• $B_2$每$\frac{7}{4}$秒鸣响一次

若两次鸣响间隔在$\frac{1}{2}$秒及以内时会被感知为一次声音，求15分钟内共能听到多少次敲击声？

你的困惑与思路铺垫 #

你提到不确定如何将问题转化为数学表述，而且已经开始做通分：$\frac{4}{3} = \frac{16}{12}$且$\frac{7}{4} = \frac{21}{12}$，这个方向特别对！接下来咱们一步步把问题转化成可计算的数学模型：

数学转化步骤 #

1. 统一总时长单位
   先把15分钟换算成秒：15 * 60 = 900 秒。

2. 计算单个铃铛的独立鸣响次数
   注意铃铛是从第0秒开始第一次鸣响的，所以次数要加1：

   • $B_1$的鸣响次数：$\lfloor \frac{900}{\frac{4}{3}} \rfloor + 1 = \lfloor 675 \rfloor + 1 = 676$ 次
   • $B_2$的鸣响次数：$\lfloor \frac{900}{\frac{7}{4}} \rfloor + 1 = \lfloor 514.285... \rfloor + 1 = 515$ 次

3. 定义“重合感知”的数学条件
   设$B_1$第$m$次鸣响的时间为 $t_m = m * \frac{4}{3}$，$B_2$第$n$次鸣响的时间为 $t_n = n * \frac{7}{4}$。我们需要找到所有满足两次鸣响间隔≤0.5秒的正整数对$(m,n)$，且$t_m ≤ 900$、$t_n ≤ 900$。

   代入通分后的数值（把分母统一为12），不等式可以转化为：

   |16m - 21n| ≤ 6
   

   同时要满足限制条件：$m ≤ 675$，$n ≤ 514$（因为$514 * \frac{7}{4}=900.5$，超过总时长900秒，所以n的最大值是514）

4. 计算总可感知次数
   总听到的次数 = $B_1$独立鸣响次数 + $B_2$独立鸣响次数 - 重合感知的次数（因为重合的那些被当成一次，要减去重复计数的部分）

   接下来就可以用数论里的线性丢番图方程思路，找出所有符合|16m - 21n| ≤ 6的整数对，统计数量后代入公式就能得到结果啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Luis Vera