关于满足f(y)-f(x)≤(y-x)²的[0,1]上不连续函数的疑问

你的疑惑其实源于一个关键的细节误解：你把题目中的条件f(y)-f(x)≤(y-x)²和**|f(y)-f(x)|≤(y-x)²混为一谈了。后者确实能推出函数一致连续（进而连续），但前者只限制了函数的增长速度**，完全没限制它的下降幅度——这就给不连续留下了空间。

先澄清条件的真实含义 #

题目里的不等式只说：当y≥x时，函数值的增量（f(y)-f(x)）不能超过(y-x)²。但如果f(y) < f(x)，那f(y)-f(x)是负数，而(y-x)²是非负的，负数自然小于等于非负数，所以这种情况不管函数值降多少，不等式都自动成立。

换句话说：这个条件只管函数“不能涨太快”，但允许它“突然暴跌”——而这种暴跌就会导致不连续。

构造一个具体的不连续例子 #

我们可以很简单地构造出满足条件的不连续函数：

f(x) = 0，当x ∈ [0, 1/2]
f(x) = -1，当x ∈ (1/2, 1]

验证一下它满足所有题目要求：

1. f(0)=0：显然成立；
2. 对任意0≤x≤y≤1，f(y)-f(x)≤(y-x)²：
   • 如果y≤1/2：f(y)-f(x)=0-0=0≤(y-x)²，成立；
   • 如果x≥1/2：f(y)-f(x)=-1 - (-1)=0≤(y-x)²，成立；
   • 如果x≤1/2≤y：f(y)-f(x)=-1-0=-1≤(y-x)²，因为(y-x)²≥0，-1≤0，显然成立。

而这个函数在x=1/2处是不连续的：左极限是0（等于f(1/2)），但右极限是-1，和函数值不相等，所以不连续。

再回头看你的认知偏差 #

你之前觉得“邻近点函数值差异极小”，但这个结论只在函数值增长时成立——当y>x且f(y)≥f(x)时，f(y)-f(x)≤(y-x)²，这时候邻近点的差异确实很小；但如果f(y)<f(x)，差异可以很大（比如上面例子里的差是-1），而这种情况完全不违反题目条件。

所以题目中的条件并没有强制函数一致连续，自然可能存在不连续的函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者D F