关于求解∫x/(x+1)dx的两种方法结果等价性的疑问

你完全没说错——这两种方法得到的表达式确实是等价的，核心原因就是不定积分的结果本身是一族相差任意常数的函数，而我们写的时候常省略常数，才造成了形式上的差异。

先回顾你的两种解法（补上关键的积分常数） #

• 拆分分式法：
  $$\int \frac{x}{x+1} dx = \int \frac{x +1-1}{x+1}dx=\int \left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx=x-\ln|x+1| + C_1$$
  （$C_1$是任意常数，不定积分必须加上它）

• u代换法：
  令$u = x+1$，则$x = u-1$，$dx = du$，代入后计算：
  $$\int \frac{u-1}{u} du = \int \left(1-\frac{1}{u}\right)du=u-\ln|u| + C_2 = (x+1) - \ln|x+1| + C_2$$
  （$C_2$同样是任意常数）

为什么看起来不同？其实是常数项合并了 #

把u代换得到的结果重新整理一下：
$$(x+1) - \ln|x+1| + C_2 = x - \ln|x+1| + (1 + C_2)$$
这里的$1+C_2$本质上还是一个任意常数——因为$C_2$可以取任何实数，$1+C_2$也能取到所有实数，我们完全可以把它记作$C_1$（和第一种方法的常数统一）。

换句话说，两种结果只是常数项的写法不同，它们描述的是同一族函数，都是$\frac{x}{x+1}$的不定积分。

小提醒 #

不定积分的核心是“一族函数”，而不是某个单一函数。只要两个表达式相差一个固定的常数，它们就属于同一个不定积分的解。以后遇到类似形式不同的结果，先看看是不是可以通过调整常数项统一起来~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Scb