你这个观察太到位了！完全戳中了问题的要害——Do Carmo的这个答案确实有疏漏，你的结论才是对的：映射$X$不是整个平面$P$的参数化。

下面具体拆解分析：

1. 平面$P$与$X$的像的范围 #

平面$P$的定义是所有满足$x=y$的点，我们可以把它重新写成更直观的形式：
$$P = {(t, t, s) \mid t, s \in \mathbb{R}}$$
而映射$X(u,v)=(u+v, u+v, uv)$的像，本质上是$P$中满足特定条件的子集：令$t=u+v$，$s=uv$，那么$u$和$v$是二次方程$x^2 - tx + s = 0$的两个实根。

2. 实根存在的限制条件 #

二次方程有实根的充要条件是判别式非负：
$$\Delta = t^2 - 4s \geq 0$$
当$\Delta < 0$时，方程没有实数解，自然不存在$(u,v)\in U$对应$P$中的点。你举的例子$(0,0,3)$就对应$t=0$，$s=3$，此时$\Delta = 0^2 - 4\times3 = -12 < 0$，确实不在$X$的像里。

3. Do Carmo答案的可能疏漏 #

Do Carmo说“是”，大概率是表述上的不严谨：$X$确实是平面$P$中由$t^2 > 4s$定义的开子集的合法参数化（当$\Delta > 0$时，方程有两个不同实根，结合$U={(u,v)\mid u>v}$的要求，能对应唯一的$(u,v)$对，且映射是局部微分同胚），但它绝对覆盖不了整个平面$P$，所以不能作为整个$P$的参数化。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bernstein