关于部分分式分解中重复线性因子的疑问：为何C的分母为(x+1)^2？

这是个非常关键的问题，本质上是部分分式分解的核心规则要求——当分母包含重复的线性因式（也就是形如$(x-a)^n$，$n≥2$的因式）时，我们必须为这个因式的每一个幂次（从1到n）都设置对应的分式项，这样才能保证分解后的式子可以精准还原出原分子的所有系数。

具体到你的例子：分母是$x(x+1)^2$，其中$(x+1)$是二次重因式（$n=2$）。如果只写$\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$，我们来通分看看会出现什么问题：
$$\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} = \frac{A(x+1)^2 + Bx(x+1)}{x(x+1)^2}$$
展开分子后得到：
$$A(x^2+2x+1) + B(x^2+x) = (A+B)x^2 + (2A+B)x + A$$
现在要让这个分子等于原分子$5x^2+20x+6$，就会得到三个系数方程：

1. $A+B = 5$（$x^2$项系数）
2. $2A+B = 20$（$x$项系数）
3. $A = 6$（常数项）

把$A=6$代入第一个方程，得到$B=5-6=-1$；再代入第二个方程，左边是$2*6 + (-1)=11$，但右边是20，显然矛盾——这说明只靠$\frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$根本无法表示原分式，因为我们只有两个未知数，却要满足三个系数条件，大概率会无解。

而加上$\frac{C}{(x+1)^2}$之后，通分后的分子变成：
$$A(x+1)^2 + Bx(x+1) + Cx$$
展开后是：
$$(A+B)x^2 + (2A+B+C)x + A$$
现在有三个未知数$A、B、C$，正好对应三个系数方程，就能解出唯一的一组解：

• 由常数项直接得$A=6$
• 代入$x^2$项：$6+B=5 → B=-1$
• 代入$x$项：$2*6 + (-1) + C=20 → 11+C=20 → C=9$

验证一下：$\frac{6}{x} + \frac{-1}{x+1} + \frac{9}{(x+1)^{2}$通分后分子确实是$5x}2+20x+6$，完美匹配原分式的分子。

最后再提炼一下规则：

• 对于分母中的单线性因式$(x-a)$，只需要$\frac{A}{x-a}$这一项；
• 对于分母中的k次重线性因式$(x-a)^k$，必须包含$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + ... + \frac{A_k}{(x-a)^k}$所有k项，这样才能覆盖分子的所有系数需求，保证分解有解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jinzu