求1+4+7+…+(3n-2)的求和公式并归纳验证，推导结果存疑求助

安全阿岳

2026-5-19

排查你的数列求和公式错误并推导正确结果

首先得指出你一开始的求和形式就出问题啦——原数列的第一项就是3*1 - 2 = 1，所以整个数列的和应该是直接对k=1到n求和$$\sum_{k=1}^n (3k - 2)$$，而不是额外再加一个1，这就是你后续公式错误的根源！

正确推导求和公式

这个数列是等差数列：首项$a_1=1$，公差$d=3$，第$n$项$a_n=3n-2$。根据等差数列求和公式：
$$
S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}
$$
代入首项和末项：
$$
S_n = \frac{n(1 + 3n - 2)}{2} = \frac{n(3n - 1)}{2} = \frac{3n^2 - n}{2}
$$

用数学归纳法验证

基础步骤（n=1时）

左边：数列第一项为1
右边：$\frac{3*1^2 - 1}{2} = \frac{3-1}{2} = 1$
左右相等，基础成立。

归纳假设

假设当$n=m$（$m$为正整数）时，公式成立，即：
$$
\sum_{k=1}^m (3k - 2) = \frac{3m^2 - m}{2}
$$

归纳步骤（验证n=m+1时）

当$n=m+1$时，数列和为前$m$项和加上第$m+1$项：
$$
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{m+1} (3k - 2) &= \frac{3m^2 - m}{2} + (3(m+1)-2) \
&= \frac{3m^2 - m}{2} + 3m + 1 \
&= \frac{3m^2 - m + 6m + 2}{2} \
&= \frac{3m^2 + 5m + 2}{2}
\end{align*}
$$
再用公式直接计算$n=m+1$的结果：
$$
\begin{align*}
\frac{3(m+1)^2 - (m+1)}{2} &= \frac{3(m^2 + 2m + 1) - m -1}{2} \
&= \frac{3m^2 + 6m + 3 - m -1}{2} \
&= \frac{3m^2 + 5m + 2}{2}
\end{align*}
$$
两者完全相等，归纳步骤成立。